诺特定理从广义相对论不遵守能量守恒说起

　　守恒定律是物理学的秘籍，它们使解决物理问题成为可能。守恒定律来自自然界的基本对称性，它和对称性之间的联系被封装在诺特定理中。在我们深入探讨这个极其优雅的想法之前，让我们谈谈激发它的悖论。
　　当爱因斯坦的广义相对论在1915年发表的时候，它产生的问题与它解决的问题一样多，其中之一是能量在广义相对论中并不总是守恒的。最简单的例子是宇宙学红移的情况，随着宇宙膨胀光被拉伸，它的波长增加，因此每个光子的能量下降。红移光子的能量到哪里去了？
　　1915年，宇宙膨胀还没被发现，但是能量守恒的失败从广义相对论的数学中还是很清楚的。那个时代的两个科学家希尔伯特和克莱因寻求年轻数学家诺特的帮助，以理解这个悖论。她发现了为什么能量守恒在广义相对论中失效，因为这个定律并不是基本的，她意识到所有守恒定律都源于一个更基本的关系，我们现在称之为诺特定理。
　　诺特定理的一个简单表是：对于宇宙的每一个连续对称，都存在一个守恒量。首先，我们所说的对称是什么意思？如果一张脸在镜面反射下相同，我们就说它是对称的，雪花在60度旋转下是对称的，扑克牌旋转180度是对称的，但这些是我们所说的离散对称性：围绕一个轴的单次翻转或特定量的旋转。
　　诺特定理适用于连续对称，例如一个完美的球体在旋转平移下是连续对称的，在这种情况下，沿对称坐标移动的环境保持不变。在诺特定理的情况下，当我们说环境保持不变时，我们指的是给出系统运动定律的方程。例如，沿着完全平坦的道路行驶并且重力保持不变，此时空间平移具有连续对称性，诺特定理告诉我们有一个相应的守恒量，这个量就是动量。如果两辆车在那条路上相撞，它们的总动量保持不变。
　　但是，如果这条道路具有高度差，那么动量就不是守恒的，这是因为重力场的方向相对于道路发生了变化，它不再具有空间连续对称性，动量可以在重力场中丢失或获得。但是，这条路的重力场不会随着时间而变化，它具有时间连续对称性，因此诺特定理给了我们能量守恒。最后一个例子，卫星在球对称的引力场中运行，诺特定理揭示了一个角动量守恒。
　　通过揭示守恒定律的潜在来源，诺特定理轻松地解释了它们何时以及为什么被打破，这当然包括上述所说的广义相对论打破能量守恒。爱因斯坦对引力的描述揭示了空间和时间的维度是动态和可变的，如果空间的本质可以随时间而改变，那么连续的时间对称性就被打破了。膨胀的宇宙就是这种情况，在宇宙红移的情况下，能量可能会丢失。能量守恒定律是牛顿力学的基础，在其中时空是不变的和永恒的。但是在爱因斯坦的宇宙中，能量守恒定律只有在特定情况下才有效，它仅适用于我们近似空间不会随时间变化的宇宙部分。
　　但是，使用诺特定理可以得出一个类似的守恒量，这个量是相当深奥的landaulifshitz伪张量，它通过整合整个宇宙的引力势能来抵消红移的损失，从而拯救了能量守恒。然而，这个量在其应用和解释上是有争议的。