2021年全国甲卷理科数学真题

　　1。设集合M｛x0x4｝，N｛xx5｝，则MN
　　A。｛x0x｝
　　B。｛xx4｝
　　C。｛x4x5｝
　　D。｛x0x5｝
　　2。为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
　　根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
　　A。该地农户家庭年收入低于4。5万元的农户比率估计为6
　　B。该地农户家庭年收入不低于10。5万元的农户比率估计为10
　　C。估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6。5万元
　　D。估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4。5万元至8。5万元之间
　　3。已知，则z
　　A。1i
　　B。1i
　　C。i
　　D。i
　　4。青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L5lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4。9，则其视力的小数记数法的数据约为（1。259）
　　A。1。5B。1。2C。0。8D。0。6
　　5。已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，PF13PF2，则C的离心率为
　　A。
　　B。
　　C。
　　D。
　　6。在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G。该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是
　　A。
　　B。
　　C。
　　D。
　　7。等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q0，乙：｛Sn｝是递増数列，则
　　A。甲是乙的充分条件但不是必要条件
　　B。甲是乙的必要条件但不是充分条件
　　C。甲是乙的充要条件
　　D。甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
　　8。2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848。86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一。右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B，C在同一水平而上的投影A’，B’，C满足。由c点测得B点的仰角为15，曲，与的差为100：由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面的高度差约为
　　A。346B。373C。446D。473
　　9。若，，则
　　A。B。C。D。
　　10。将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
　　A。B。C。D。
　　11。已知A，B，C是半径为1的求O的球面上的三个点，且ACBC，ACBC1，则三棱锥OABC的体积为
　　A。B。C。D。
　　12。设函数f（x）的定义域为R，f（x1）为奇函数，f（x2）为偶函数，当时，。若，则
　　A。B。C。D。
　　二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
　　13。曲线在点（1，3）处的切线方程为。
　　14。已知向量a（3，1），b（1，0），，若ac，则k。
　　15。已知F1，F2为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且，则四边形PF1QF2的面积为。
　　16。已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为。
　　三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
　　（一）必考题：共60分。
　　17。（12分）
　　甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
　　（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
　　能否有99的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
　　附：
　　18。（12分）
　　已知数列｛an｝的各项均为正数，记Sn为｛an｝的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立。
　　数列｛an｝是等差数列：数列｛
　　｝是等差数列；a23a1
　　注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。
　　19。（12分）
　　已知直三棱柱ABCA1B1C1。中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1。
　　（1）证明：BFDE；
　　当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
　　20。（12分）
　　抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x1交C于P，Q两点，且OP丄OQ。已知点M（2，0），且
　　M与L相切，
　　（1）求C，
　　M的方程；
　　（2）设A1，A2，A3，是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与
　　M相切，判断A2A3与
　　M的位置关系，并说明理由。
　　21。（12分）
　　己知a0且a1，函数f（x）
　　（x0），
　　（1）当a2时，求f（x）的单调区间；
　　（2）若曲线yf（x）与直线y1有且仅有两个交点，求a的取值范围。
　　（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
　　22。选修4一4：坐标系与参数方程（10分）
　　在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
　　2
　　cos。
　　（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
　　（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足
　　，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点。
　　23。〔选修4一5：不等式选讲〕（10分）
　　已知函数f（x）x2，g（x）2x32x1。
　　（1）画出f（x）和yg（x）的图像；
　　（2）若f（xa）g（x），求a的取值范围。