指数分布的方差是什么（指数分布的协方差）

　　离均差、方差、均方差、协方差这几个数学名词都听上去都差不多，可是在日常工作生活中能用得上这些概念的人应该不多，今天就来说说其中的差别。
　　要想搞清楚什么是离均差、方差、均方差和协方差，得先从均值这个概念开始。哪怕是数学再不好的人，也应该知道算术平均数是怎么回事吧。
　　以标准普尔500指数为例，在2018年9月10日至9月21日期间共有10个交易日，自然也就有10个标准普尔500指数的收盘价。将这10个交易日的标准普尔500指数收盘价相加后除以交易天数10，就会得出这10个交易日标准普尔500指数收盘价的均值2，902。46。
　　日期
　　标准普尔500指数X
　　均值
　　2018910
　　2，877。13
　　2，902。46
　　2018911
　　2，887。89
　　2018912
　　2，888。92
　　2018913
　　2，904。18
　　2018914
　　2，904。98
　　2018917
　　2，888。80
　　2018918
　　2，904。31
　　2018919
　　2，907。95
　　2018920
　　2，930。75
　　2018921
　　2，929。67
　　合计
　　29，024。58
　　有了均值，下面就可以计算离均差，离均差就是一组数据中各个数值与该组数据均值的差异。用上述10个交易日的收盘价分别减去均值2，902。46，可以得出每一个收盘价的离均差。
　　日期
　　标准普尔500指数X
　　均值M
　　离均差XM
　　2018910
　　2，877。13
　　2，902。46
　　（25。33）
　　2018911
　　2，887。89
　　（14。57）
　　2018912
　　2，888。92
　　（13。54）
　　2018913
　　2，904。18
　　1。72
　　2018914
　　2，904。98
　　2。52
　　2018917
　　2，888。80
　　（13。66）
　　2018918
　　2，904。31
　　1。85
　　2018919
　　2，907。95
　　5。49
　　2018920
　　2，930。75
　　28。29
　　2018921
　　2，929。67
　　27。21
　　离均差是计算方差的基础，将离均差乘方，相加求和后再除以10求平均值，得出来的结果就是这组数据的方差，方差衡量的也是一组数据中各个数值与该组数据均值的离散程度。在下表中，方差等于280。7405。方差的计算公式为
　　，其中x为样本平均值，n为样本的大小。
　　日期
　　标准普尔500指数X
　　均值M
　　离均差
　　（离均差）22
　　2018910
　　2，877。13
　　2，902。46
　　（25。33）
　　641。51
　　2018911
　　2，887。89
　　（14。57）
　　212。23
　　2018912
　　2，888。92
　　（13。54）
　　183。28
　　2018913
　　2，904。18
　　1。72
　　2。97
　　2018914
　　2，904。98
　　2。52
　　6。36
　　2018917
　　2，888。80
　　（13。66）
　　186。54
　　2018918
　　2，904。31
　　1。85
　　3。43
　　2018919
　　2，907。95
　　5。49
　　30。16
　　2018920
　　2，930。75
　　28。29
　　800。44
　　2018921
　　2，929。67
　　27。21
　　740。49
　　合计
　　29，024。58
　　2，807。4055
　　280。7405
　　有了方差，标准差就迎刃而解了，因为标准差方差的平方根，用表示。因此，前面这组数据的标准差（280。7405）（12）16。7553。
　　且慢以上的计算过程是基于该组数据是样本数据的总体这一前提假设，也就是说在标准普尔500指数的历史上只有2018年9月10日至9月21日这10个交易日的收盘价。当然这是不可能，因为这些数据只是抽样数据，是为了举例说明而给定的样本数据而不是数据的全部，因此需要对以上计算过程略作调整。上表中的和2，807。4055应除以（101）而不是10，方差的结果变成311。9339，同样标准差也就变成（311。9339）（12）17。6617：
　　标准差又名均方差，是离均差平方的算术平均数的平方根，可用来衡量一组数据中各个数值与该组数据均值的离散程度。标准差的计算公式为
　　，其中x为样本平均值，n为样本的大小。标准差越大，说明该组数据中大部分数据与均值的差异较大。均值相等的两组数据，标准差却未必相同。比如，有A、B两组数据，如下表所示，这两组数据的均值都等于5。
　　A
　　B
　　3hr4。8
　　5hr5。2
　　4hr4。3
　　6hr5。7
　　7hr5hr但各数据偏离均值的程度是有差异的，可以看到均值相等的两组数据中，A组中各个数据之间的差异程度要高于B组。
　　小结一下：方差是标准差的平方，是离均差平方的和的均值。
　　通过以上的演示计算，可以看到离均差、方差、标准差衡量的都是某一组数据内部各数值偏离均值的程度，通俗地讲是自己跟自己比。但下面介绍的协方差比较的是两组数据之间的差异程度。协方差的计算公式为
　　其中
　　是两个数据系列的样本平均值，x、y为数据系列中的单个数据，n为样本的大小。
　　如果用于比较的两组数据完全相同，那么其方差和协方差的计算结果是一致的，因此方差只是协方差的一个特例。
　　有了方差和协方差，下一步就可以计算相关系数了，公式为
　　其中是两个数据系列的样本平均值，x、y为数据系列中的单个数据，n为样本的大小。
　　需要注意，如果用协方差计算相关系数，协方差中的x、y假设为全体数据，因此协方差公式中的标准差计算时，需要除以n而不是n1。
　　以西德克萨斯轻质原油和标准普尔500指数为例，计算其收益率之间的相关系数，收盘价取值日期为2018年9月10日至9月21日。
　　分布推导的结果与EXCEL自带函数计算结果相符。