构造等角破解中考相似存在性压轴难题

　　相似三角形存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。笔者拟就最新考题为例，从构造角度的角度，解密相似存在性问题。
　　我们知道，当题目表述成文字形式的相似而不是符号表达的，此时两个相似三角形就不存在对应关系，分类复杂难辨！但命此类题大多都是有迹可循的，往往题目中涉及的两个相似三角形会存在一组关键的相等角，这组相等的角一定是对应角，从而将复杂难辨的多种分类迅速简化成最多两类情形，下面以题来论，你会更清楚！
　　典型考题
　　1。从公共角出发，构造等角
　　例1。（2019娄底中考题）如图，抛物线yaxbxc与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，3）点P、Q是抛物线yax2bxc上的动点
　　（1）求抛物线的解析式；
　　（2）当点P在直线OD下方时，求POD面积的最大值
　　（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当OBE与ABC相似时，求点Q的坐标
　　【解析】（1）函数的表达式为：ya（x1）（x3），将点D坐标代入上式，即可求解为：yx2x3；
　　2。平行构造相等角
　　例2。（2018德州中考题）如图1，在平面直角坐标系中，直线yx1与抛物线yxbxc交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D
　　（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
　　（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角APM和等腰直角DPN，连接MN，试确定MPN面积最大时P点的坐标；
　　（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
　　【解析】（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；
　　（2）由等腰直角APM和等腰直角DPN，得到MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可求当m2，即AP2时，SMPN最大，此时OP3，即P（3，0）；
　　（3）存在，理由如下：
　　3。由三角函数值求相等角
　　例3。（2019郴州中考题）已知抛物线yaxbx3与x轴分别交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C
　　（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
　　（2）点F是线段AD上一个动点
　　如图1，设kAFAD，当k为何值时，CF12AD？
　　如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由
　　【解析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D（1，4）；
　　（2）由A、C、D三点的坐标求出AC32，DC2，AD25，可得ACD为直角三角形，若CF12AD，则点F为AD的中点，可求出k的值；
　　由条件可判断DACOBC，则OAFACB，若以A，F，O为顶点的三角形与ABC相似，可分两种情况考虑：当AOFABC或AOFCAB45时，可分别求出点F的坐标
　　4。题无定角，分类讨论相等角
　　例4。（2019襄阳中考题）如图，在直角坐标系中，直线y12x3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC
　　（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；
　　（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
　　（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
　　解题反思总结
　　在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为相似三角形存在性问题求解的出发点为根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为单动点类、双动点两类问题
　　常见思路分析如下：根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1，构造等角两边对应成比例解题的关键是找到一组关键的相等角，这是第一步，而这组相等的角有时题目会很明显地交代出来，有时比较隐晦，需要自己有意识地去寻找这些特殊关系！
　　其中一线三等角是极其重要的相似形，在解题中可将其视为工具，其运用分三重境界，一重境是一线上已具备三个等角，只需识别模型，再证明相似，直接运用；二重境是一条线上有两个等角，需在补上一个等角，构造模型解题；三重境是一条线上只有一个等角，需补上两个等角，构造模型解题。这种模型的关键是一线加顶点在这条线上的三个等角，解题时模型完整则直接用之，模型残缺则补全模型再用之