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模型研究极致经典最值系列之费马点

7月23日 不回头投稿
  皮耶德费马,17世纪法国数学家,有业余数学家之王的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞搞数学费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字命名的费马小定理、费马大定理等
  据说费马在提出费马大定理时,在笔记本上写道:我已经想到了一个绝妙的证明方法,但是这个地方不够写,我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的,然后,直到1995年,才由英国数学家怀尔斯证明出,而距离费马逝世,已经过去了330年
  果然,数学搞得好的都是装x的一把好手
  言归正传,今天的问题不是费马提出来的,是他解决的,故而叫费马点
  问题描述
  在ABC内找一点P,使得PAPBPC最小
  【分析】在之前的最值问题中,我们解决的依据有:两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等
  阿哈哈哈,此处一个也用不上!
  其实理论还是上面的理论,本题难点在于有3条线段,我们需要对这三条线段作一些位置上的变化,如果能变换成在一条直线上,问题就能解决了!
  算了算了,不墨迹了,直接报答案了:
  若点P满足PABBPCCPA120,则PAPBPC值最小,P点称为该三角形的费马点
  接下来讨论3个问题:
  (1)如何作三角形的费马点?(是什么)
  (2)为什么是这个点?(为什么)
  (3)费马点怎么考?(怎么办)
  01:如何作三角形的费马点?
  是什么?
  问题要从初一学到的全等说起:
  (1)如图,分别以ABC中的AB、AC为边,作等边ABD、等边ACE
  (2)连接CD、BE,即有一组手拉手全等:ADCABE
  (3)记CD、BE交点为P,点P即为费马点(到这一步其实就可以了)
  (4)以BC为边作等边BCF,连接AF,必过点P,有PABBPCCPA120
  在图三的模型里有结论:
  (1)BPD60;
  (2)连接AP,AP平分DPE
  有这两个结论便足以说明PABBPCCPA120
  原来在手拉手全等就已经见过了呀,只是相逢何必曾相识!
  但是在这里有个小小的要求,细心的同学会发现,这个图成立的一个必要条件是BAC
  此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗?
  不不不,这时候就不是了,显然P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和
  所以咧?是的,你想得没错,此时三角形的费马点就是A点!当然这种情况不会考的,就不多说了
  02:为什么是这个点?
  为什么?
  为什么P点满足PABBPCCPA120,PAPBPC值就会最小呢?
  归根结底,还是要重组这里3条线段:PA、PB、PC的位置,而重组的方法是构造旋转!
  在上图3中,如下有ADCABE,可得:CDBE
  类似的手拉手,在图4中有3组,可得:AFBECD
  巧的嘞,它们仨的长度居然一样长!
  更巧的是,其长度便是我们要求的PAPBPC的最小值,这一点是可以猜想得到的,毕竟最小值这个结果,应该也是个特别的值!
  接下来才是真正的证明:
  考虑到APB120,APE60,则可以AP为边,在PE边取点Q使得PQAP,则APQ是等边三角形
  APQ、ACE均为等边三角形,且共顶点A,故APCAQE,PCQE
  以上两步分别转化PAPQ,PCQE,故PAPBPCPBPQQEBE
  没有对比就没有差别,我们换个P点位置,如下右图,同样可以构造等边APQ,同样有APCAQE,转化PAPQ,PCQE,
  显然,PAPBPCPBPQQEBE
  还剩下第3个问题!
  如果说费马点以前还算是课外的拓展内容,那现在,已经有人把它搬上了中考舞台!
  03:费马点怎么考?
  怎么办?
  直接考,要不然还能怎么考?
  看看今年2019武汉中考填空最后一题:
  问题背景:如图1,将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PAPCPE
  问题解决:如图2,在MNG中,MN6,M75,MG4倍根号2,点O是MNG内一点,则点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是
  【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路,构造60的旋转,当然如果已经了解了费马点问题,直接来解决就好了!
  如图,以MG为边作等边MGH,连接NH,则NH的值即为所求的点O到MNG三个顶点的距离和的最小值(此处不再证明)
  过点H作HQNM交NM延长线于Q点,
  根据NMG75,GMH60,
  可得HMQ45,
  MHQ是等腰直角三角形,
  MQHQ4,
  NH2倍根号29
  练习1
  如图,在ABC中,ACB90,ABAC1,P是ABC内一点,求PAPBPC的最小值
  【分析】如图,以AD为边构造等边ACD,连接BD,BD的长即为PAPBPC的最小值至于点P的位置?这不重要!
  如何求BD?考虑到ABC和ACD都是特殊的三角形,过点D作DHBA交BA的延长线于H点,根据勾股定理,BDBHDH即可得出结果
  练习2
  如图,已知矩形ABCD,AB4,BC6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MAMDME的最小值为
  【分析】依然构造60旋转,将三条折线段转化为一条直线段
  分别以AD、AM为边构造等边ADF、等边AMG,连接FG,
  易证AMDAGF,MDGF
  MEMAMDMEEGGF
  过F作FHBC交BC于H点,线段FH的长即为所求的最小值
  来源:有一点数学,作者:刘岳,如存图片音视频作者来源等使用或标注有误,请随时联系微信ABCshuxue处理。
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