如何解三次方程

　　在本文中：解不含常数项的三次方程使用因数表求整数解使用判别式方法视频
　　三次方程的最高次数为3次，它有3个解，或者说3个根，方程本身的形式是
　　｛displaystyleax｛3｝bx｛2｝cxd0｝
　　。虽然三次方程有些令人望而生畏，并且的确不好解，但在具备大量基础知识的前提下，只要使用正确的方法，即使是最棘手的三次方程问题也可以顺利求解。三次方程的解法有很多种，你可以尝试使用二次公式、求整数解或确定判别式方法。
　　方法
　　1：解不含常数项的三次方程
　　1：检查三次方程，看是否包含常数项
　　d｛displaystyled｝
　　。三次方程的形式为
　　｛displaystyleax｛3｝bx｛2｝cxd0｝
　　。但是，唯一必要的关键项是
　　｛displaystylex｛3｝｝
　　，这意味着三次方程中未必会出现其他项。
　　如果方程中包含常数项
　　｛displaystyled｝
　　，那么你就必须使用其它解法。
　　如果
　　｛displaystylea0｝
　　，那么这个方程就不是三次方程。
　　2：提取方程的公因式
　　x｛displaystylex｝
　　。由于方程没有常数项，所以其中各项都包含变量
　　｛displaystylex｝
　　。也就是说，可以提取方程的公因式
　　｛displaystylex｝
　　来简化方程。这样做之后，可以将方程重写为
　　｛displaystylex（ax｛2｝bxc）｝
　　。
　　例如，假设我们一开始要解的方程是
　　｛displaystyle3x｛3｝2x｛2｝14x0｝
　　。
　　提取方程的公因式
　　｛displaystylex｝
　　，得到
　　｛displaystylex（3x｛2｝2x14）0｝
　　。
　　3：如果可能，将得到的二次方程因式分解。很多情况下，提取公因式
　　｛displaystylex｝
　　后得到的二次方程
　　｛displaystyleax｛2｝bxc｝
　　都能被因式分解。例如，如果要解
　　｛displaystylex｛3｝5x｛2｝14x0｝
　　，你可以：
　　提取公因式
　　｛displaystylex｝
　　：
　　｛displaystylex（x｛2｝5x14）0｝
　　将括号内的二次方程因式分解：
　　｛displaystylex（x7）（x2）0｝
　　设各因式等于
　　｛displaystyle0｝
　　。得到方程的解
　　｛displaystylex0，x7，x2｝
　　。
　　4：如果无法手动对括号内的部分进行因式分解，可使用二次公式求解。你可以将
　　｛displaystylea｝
　　、
　　｛displaystyleb｝
　　、
　　｛displaystylec｝
　　的值代入二次公式（
　　｛displaystyle｛frac｛bpm｛sqrt｛b｛2｝4ac｝｝｝｛2a｝｝｝
　　）中，算出使二次方程等于0的x值。使用这种方法可以求出三次方程的两个解。
　　示例中，将
　　｛displaystylea｝
　　、
　　｛displaystyleb｝
　　和
　　｛displaystylec｝
　　的值
　　｛displaystyle3｝
　　、
　　｛displaystyle2｝
　　和
　　｛displaystyle14｝
　　分别代入到以下二次公式：
　　｛displaystyle｛frac｛bpm｛sqrt｛b｛2｝4ac｝｝｝｛2a｝｝｝
　　｛displaystyle｛frac｛（2）pm｛sqrt｛（（2）｛2｝4（3）（14）｝｝｝｛2（3）｝｝｝
　　｛displaystyle｛frac｛2pm｛sqrt｛4（12）（14）｝｝｝｛6｝｝｝
　　｛displaystyle｛frac｛2pm｛sqrt｛（4168｝｝｝｛6｝｝｝
　　｛displaystyle｛frac｛2pm｛sqrt｛164｝｝｝｛6｝｝｝
　　解1：
　　｛displaystyle｛frac｛2｛sqrt｛164｝｝｝｛6｝｝｝
　　｛displaystyle｛frac｛212。8i｝｛6｝｝｝
　　解2：
　　｛displaystyle｛frac｛212。8i｝｛6｝｝｝
　　5：零和二次方程的解就是三次方程的解。二次方程有两个解，而三次方程有三个。你已经求出其中的两个解，即你为括号中二次部分求出的解。对于可以用因式分解方法求解的方程，第三个解一定为
　　｛displaystyle0｝
　　。
　　将方程分解为包含两个因式的形式
　　｛displaystylex（ax｛2｝bxc）0｝
　　，左边的因式是变量
　　｛displaystylex｝
　　，右边的因式是括号内的二次方程。如果任一因式等于
　　｛displaystyle0｝
　　，则整个方程等于
　　｛displaystyle0｝
　　。
　　因此，使括号内的二次因式等于
　　｛displaystyle0｝
　　的两个解是三次方程的解，而使左边因式等于
　　｛displaystyle0｝
　　的
　　｛displaystyle0｝
　　本身，也是三次方程的解。
　　方法
　　2：使用因数表求整数解
　　1：确保三次方程有一个
　　d｛displaystyled｝
　　值不等于零的常数项。如果形式为
　　｛displaystyleax｛3｝bx｛2｝cxd0｝
　　的方程拥有一个不等于零的
　　｛displaystyled｝
　　值，那就无法将它因式分解为二次方程。但是不用担心，你还可以使用其他方法，比如下文中介绍的方法。
　　以方程
　　｛displaystyle2x｛3｝9x｛2｝13x6｝
　　为例。这个方程中，要让等号的右边等于
　　｛displaystyle0｝
　　，你需要两边都加
　　｛displaystyle6｝
　　。
　　得到新的方程
　　｛displaystyle2x｛3｝9x｛2｝13x60｝
　　。由于
　　｛displaystyled6｝
　　，你无法使用二次方程方法。
　　2：找出
　　a｛displaystylea｝
　　和
　　d｛displaystyled｝
　　的因数。要解三次方程，我们需要先关注
　　｛displaystylex｛3｝｝
　　项的系数
　　｛displaystylea｝
　　以及方程最后的常数项
　　｛displaystyled｝
　　，找出它们各自的因数。记住，如果两个数字相乘得到另一个数，那么这两个数就是乘积的因数。
　　例如，由于你可以用
　　｛displaystyle6times1｝
　　和
　　｛displaystyle2times3｝
　　得到6，所以1、2、3、6就是6的因数。
　　例题中，
　　｛displaystylea2｝
　　，而
　　｛displaystyled6｝
　　。2的因数是1和2。6的因数是1、2、3、6。
　　3：用
　　a｛displaystylea｝
　　的因数除以
　　d｛displaystyled｝
　　的因数。将
　　｛displaystylea｝
　　的各因数除以
　　｛displaystyled｝
　　的各因数所得的值罗列出来。这样做通常会得到许多分数和几个整数。三次方程的整数解要么是其中的一个整数，要么是其中一个整数的相反数。
　　例题中，用
　　｛displaystylea｝
　　的因数1和2除以
　　｛displaystyled｝
　　的因数1、2、3、6，得到：
　　｛displaystyle1｝
　　，
　　｛displaystyle｛frac｛1｝｛2｝｝｝
　　，
　　｛displaystyle｛frac｛1｝｛3｝｝｝
　　，
　　｛displaystyle｛frac｛1｝｛6｝｝｝
　　，
　　｛displaystyle2｝
　　和
　　｛displaystyle｛frac｛2｝｛3｝｝｝
　　。然后，我们将各数字的相反数加入进去，使之更加完整：
　　｛displaystyle1｝
　　，
　　｛displaystyle1｝
　　，
　　｛displaystyle｛frac｛1｝｛2｝｝｝
　　，
　　｛displaystyle｛frac｛1｝｛2｝｝｝
　　，
　　｛displaystyle｛frac｛1｝｛3｝｝｝
　　，
　　｛displaystyle｛frac｛1｝｛3｝｝｝
　　，
　　｛displaystyle｛frac｛1｝｛6｝｝｝
　　，
　　｛displaystyle｛frac｛1｝｛6｝｝｝
　　，
　　｛displaystyle2｝
　　，
　　｛displaystyle2｝
　　，
　　｛displaystyle｛frac｛2｝｛3｝｝｝
　　和
　　｛displaystyle｛frac｛2｝｛3｝｝｝
　　。三次方程的整数解就在其中。
　　4：手动代入整数，这种方法较为简单，但可能会比较费时。得到相除的结果后，你可以迅速将整数手动代入，看哪些能让三次方程等于
　　｛displaystyle0｝
　　，进而求出方程的解。例如，如果将
　　｛displaystyle1｝
　　代入方程，可以得到：
　　｛displaystyle2（1）｛3｝9（1）｛2｝13（1）6｝
　　，即
　　｛displaystyle29136｝
　　，结果不等于
　　｛displaystyle0｝
　　。因此，使用得到的下一个值。
　　如果将
　　｛displaystyle1｝
　　代入方程，得到
　　｛displaystyle（2）9（13）6｝
　　，结果等于
　　｛displaystyle0｝
　　。这意味着
　　｛displaystyle1｝
　　是方程的一个整数解。
　　5：使用更复杂，但可能更快速的综合除法。如果你不想花时间一个一个地去代入所有的值，不妨尝试一下更快捷的方法，也就是所谓的综合除法。总的来说，你应该使用综合除法，用得到的整数值除以
　　｛displaystylea｝
　　、
　　｛displaystyleb｝
　　、
　　｛displaystylec｝
　　和
　　｛displaystyled｝
　　。如果得到余数
　　｛displaystyle0｝
　　，那么这个值就是三次方程的解。
　　综合除法是一个复杂的主题，超出了本文论述的范围。以下的例子示范了如何用综合除法求三次方程的解：
　　129136
　　276
　　2760
　　由于得到的最终余数为
　　｛displaystyle0｝
　　，由此可知，
　　｛displaystyle1｝
　　是三次方程的一个整数解。
　　方法
　　3：使用判别式方法
　　1：写下
　　a｛displaystylea｝
　　、
　　b｛displaystyleb｝
　　、
　　c｛displaystylec｝
　　和
　　d｛displaystyled｝
　　的值。本方法会大量用到方程各项的系数。开始前，记下
　　｛displaystylea｝
　　、
　　｛displaystyleb｝
　　、
　　｛displaystylec｝
　　和
　　｛displaystyled｝
　　的值，免得之后混淆。
　　对于例题
　　｛displaystylex｛3｝3x｛2｝3x1｝
　　，写下
　　｛displaystylea1｝
　　、
　　｛displaystyleb3｝
　　、
　　｛displaystylec3｝
　　和
　　｛displaystyled1｝
　　。注意，如果有
　　｛displaystylex｝
　　变量前没有系数，这代表它的系数为
　　｛displaystyle1｝
　　。
　　2：使用正确的公式计算判别式零。用判别式方法求三次方程的解会用到十分复杂的数学原理，但如果严格遵循方法流程，你会发现，它在解令其他方法束手无策的三次方程方面十分实用。首先，将适当的值代入到公式
　　｛displaystyleDelta｛0｝b｛2｝3ac｝
　　中，求出第一个重要数值，即判别式零
　　｛displaystyleDelta｛0｝｝
　　。
　　判别式是一个数字，可以为我们提供关于多项式根的信息。你可能已经知道二次判别式是（
　　｛displaystyleb｛2｝4ac｝
　　）。
　　例题中的计算过程如下：
　　｛displaystyleb｛2｝3ac｝
　　｛displaystyle（3）｛2｝3（1）（3）｝
　　｛displaystyle93（1）（3）｝
　　｛displaystyle990Delta｛0｝｝
　　3：然后，计算
　　12b39abc27a2d｛displaystyleDelta｛1｝2b｛3｝9abc27a｛2｝d｝
　　。你需要的下一个重要数值是判别式
　　｛displaystyle1｝
　　，即
　　｛displaystyleDelta｛1｝｝
　　，它的计算过程会稍微复杂一点，但方法与
　　｛displaystyleDelta｛0｝｝
　　基本相同。将适当的值代入到公式
　　｛displaystyle2b｛3｝9abc27a｛2｝d｝
　　中，得到
　　｛displaystyleDelta｛1｝｝
　　的值。
　　例题中的计算过程如下：
　　｛displaystyle2（3）｛3｝9（1）（3）（3）27（1）｛2｝（1）｝
　　｛displaystyle2（27）9（9）27（1）｝
　　｛displaystyle548127｝
　　｛displaystyle81810Delta｛1｝｝
　　4：计算：
　　｛displaystyleDelta（Delta｛1｝｛2｝4Delta｛0｝｛3｝）div27a｛2｝｝
　　。然后，我们会使用
　　｛displaystyleDelta｛0｝｝
　　和
　　｛displaystyleDelta｛1｝｝
　　的值计算三次方程的判别式。在三次方程中，如果判别式为正数，则方程有三个实数解。如果判别式等于零，则方程有一个或两个实数解，且有时两个实数解会相等。如果判别式为负数，则方程只有一个实数解。
　　三次方程必定有至少一个实数解，因为其函数图形必定会与X轴相交至少一次。
　　例题中，由于
　　｛displaystyleDelta｛0｝｝
　　和
　　｛displaystyleDelta｛1｝｝
　　都等于
　　｛displaystyle0｝
　　，所以
　　｛displaystyleDelta｝
　　的计算相对简单。计算过程如下：
　　｛displaystyle（Delta｛1｝｛2｝4Delta｛0｝｛3｝）div（27a｛2｝）｝
　　｛displaystyle（（0）｛2｝4（0）｛3｝）div（27（1）｛2｝）｝
　　｛displaystyle00div27｝
　　｛displaystyle0Delta｝
　　，所以方程有一个或两个解。
　　5：计算：
　　｛displaystyleC｛3｝｛sqrt｛left（｛sqrt｛Delta｛1｝｛2｝4Delta｛0｝｛3｝｝｝Delta｛1｝right）div2｝｝｝
　　。最后一个需要计算的重要数值是
　　｛displaystyleC｝
　　。它能帮助我们在最后求出三个根。按照正常计算过程，根据需要代入
　　｛displaystyleDelta｛1｝｝
　　和
　　｛displaystyleDelta｛0｝｝
　　。
　　例题中，
　　｛displaystyleC｝
　　的计算过程如下：
　　｛displaystyle｛3｝｛sqrt｛｛sqrt｛（Delta｛1｝｛2｝4Delta｛0｝｛3｝）Delta｛1｝｝｝div2｝｝｝
　　｛displaystyle｛3｝｛sqrt｛｛sqrt｛（0｛2｝4（0）｛3｝）（0）｝｝div2｝｝｝
　　｛displaystyle｛3｝｛sqrt｛｛sqrt｛（00）0｝｝div2｝｝｝
　　｛displaystyle0C｝
　　6：使用变量计算三个根。三次方程的根或解可以使用公式
　　｛displaystyle（bu｛n｝CDelta｛0｝div（u｛n｝C））div3a｝
　　计算，其中
　　｛displaystyleu（1｛sqrt｛3｝｝）div2｝
　　，而n等于1、2或3。根据需要代入数值进行计算，其中涉及到大量的数学运算，但你应该可以得到三个使方程成立的解。
　　你可以分别计算n等于1、2、3时公式的值，来求得例题的答案。这样得到的答案可能就是三次方程的解。你可以将答案代入到方程中，使之等于0的答案即为方程的正确解。
　　例如，将1代入到
　　｛displaystylex｛3｝3x｛2｝3x1｝
　　中，计算结果为0，所以1就是三次方程的一个解。
　　QuickSummary
　　Summary：SolveaCubicEquation