当二维填充问题被推广到高维时，数学家们发现了惊人的数学联系

　　假设想用互不重叠的半径为1的圆盘把平面填充得尽可能紧密，该怎么做？这是所谓填充问题的一个例子。可以这样来排列这些圆盘，使得它们的中心成为一个正三角形网格，
　　3维情况下，类似的结果也是对的，但是证明起来就难得多了。很长一段时间以来，它都是一个未解决的问题，并以开普勒猜想而闻名于世，一直到了1998年，才有一位美国数学家ThomasHales宣称，他借助于计算机得到了一个很长很复杂的解，虽然他的解已经被证明是很难核验的，但是有一个共识，认为大概是正确的。
　　可以在任意维空间里提出球的填充问题，但是随着维的增加，这个问题变得越来越难。大概到了97维，最紧密的填充将是永远无法知道的。类似的经验提示，最好的排列方法几乎绝不会有如同2维情况的那种简单结构了，所以，唯一的解决方法可能就是某种硬性搜寻（bruteforcesearch）。然而，搜寻可能的最佳复杂结构是不可行的，虽然能够想办法把这个过程化简为只在有限种可能性中搜索，但这时可能性也还是太多，使得实际搜寻成为不可行的。
　　对于一个看起来太难解决的问题，一个有效的方法是提出一个与之有关联但是能够处理的问题。对于填充问题的例子，不必去发现最好的填充，只需要看一下能够找到紧密到何种程度的填充。
　　下面在n相当大的时候，概要地叙述在n维情况下，能够给出相当好的填充的论据。从极大填充开始，所谓极大填充，就是把球一个接一个地画进去，但不要与已经画好的球重叠，直到不与已经画好的球重叠就再也不能画新球为止。
　　现在，令z为Rn的任一点。这时，在已经画好的球的集合中，一定有一个球心与x的距离小于2的球，因为否则就能够以这一点x为球心作一个单位球，而它不会与任何一个画好的球相重叠。所以，这样作出的填充就是一个极大填充。至此，取所有的球的集合，并且把每一个球都按因子2放大，就会把整个Rn覆盖起来。因为把一个n维球按因子2放大时，其（n维）体积增加2n倍，所以未曾放大的球所已经覆盖的Rn的比例至少是2（n）。
　　注意，在以上的论证中，对于紧密度达到2（n）的填充中，球是如何排列的还一无所知。我们所做的无非就是做出了一个极大填充，做的方法也是相当随便的。这与在2维情况下的方法成了鲜明的对照，在2维情况下，我们确实定义了圆盘的很独特的排列方式。
　　这样的对照在整个数学中比比皆是。对于有些问题，最好的方法是建立一个具有高度结构的模式，使它具有所需要的性质，而对于另一些问题（这些问题想要得到精确的解通常是毫无希望），去寻找不那么独特的安排反而更好。具有高度结构的这个词，这里就意味着具有高度对称性。
　　正三角形格网是一个很简单的模式，但有些具有高度结构的模式却可能复杂得多，而在发现它们时，常会给人大得多的惊喜。在填充问题中就有一个值得注意的例子。大体说来，研究的问题维数越高，寻找好的模式就越困难，但是这个一般的规律在24维的情况却发生了例外。在这时出现了一个很不平常的构造，称为利奇（Leech）格网，给出了奇迹般紧密的填充。形式地说，Rn中的格网就是具有以下三个性质的子集合：若x和y都属于，则xy和xg也属于。若x属于，则它必是孤立的。就是说必定存在一个常数d0，使x和中任意其他点的距离至少是d。不包含于Rn的任意n1维子空间中。
　　Rn中的所有具有整数坐标的点的集合Zn就是格网的好例子。如果要寻找一个紧密的填充，关注于格网是一个好主意，因为只要知道了格网中的每一个非零点距离0至少为d，则格网中任意两点的相互距离也至少为d。这是因为中的x与y的距离，与yz与0的距离是相同的。所以，不需要考虑整个格网，只看它在0附近的那一部分就可以了。
　　在24维情况下可以证明，存在一个格网具有以下的附加的性质，这个格网在以下的意义下还是唯一的，即所有也具有这些附加性质的格网都可以由这个旋转而得。存在一个2424矩阵M，其行列式等于1，而就是M的各行的整数组合。若v是的一点，则v到0的距离的平方是一个偶数。中离0最近的非零向量的距离是2。所以，以的点为心半径为1的球，构成R24的一个填充。
　　离开0最近的非零向量远非唯一的，事实上有196560个，考虑到这些点互相的距离为2，就可以看到这是一个非常大的数字，这个格网就叫做利奇格网。
　　利奇格网有极大的对称性，说准确一些，有8315553613086720000个旋转对称，这个数等于
　　如果取这个对称群对于恒等元和负恒等元所成的子群的商群，就会得到康威（Conway）群Co1，它是单群的著名的散在子群之一。有这么多对称性存在，使得决定任意非零格点到0的距离更加容易，因为只要核验了一个距离，也就同时自动地核验了许多其他点的距离（正如在正三角形格网情况下六重对称性使得0到6个相邻的非零点距离都相同）。关于利奇格网的这些事实表明了数学研究的一个一般原则若一个数学结构有了一个值得注意的性质，也就会有其他性质。特别是高度的对称性常与其他的有趣的特性有关。于是，如果说利奇格网的存在已经令人吃惊，那么，再发现它会给出R24的极为紧密的填充就不太令人吃惊了。事实上，2004年HenryCohn和AbhinavKumar表明，它给出了R24这个球的最紧的填充，至少在格网给出的填充中，它是最紧密的，不过，这一点仍未得到证明。表观上的偶合
　　最大的散在单群称为魔群（MonsterGroup）。这个名称部分地可以用它的大小来解释
　　怎么能理解这么大的群呢？
　　最好的办法之一是证明它是某个其他的数学结构的对称群，而且，那个对象越小越好。我们刚才已经看到了另一个很大的散在单群，康威群与利奇格网的对称群有密切的关系。是否也有某个格网以魔群为对称群呢
　　不难证明，确实有一些格网能起作用，但是更大的挑战是要找一个小维数的格网。已经证明了最小可能的维数是196883。
　　现在转到一个不同的数学分支。找到一个函数j（z）的定义。这个函数称为椭圆模函数，它在代数数理论中起着中心的作用，它是由一个级数的和来定义的，这个级数是这样开始的
　　令人感兴趣的是级数中e2iz的系数是196884，比刚才的格网的最小可能维数196883只大了1，而这个格网是以魔群为对称群的。
　　并不明显的是我们应该多么严肃地对待这个观察，当JohnMcKay看到这一点时，人们就已经有了分歧。有人认为这大概只是偶合，因为这两个领域看来如此不同而且互不相关。另一些人的态度则是既然函数j（z）和魔群在自己的领域中都如此重要，而数196883又这么大，这种惊人的数值上的事实，可能指向尚未发现的深刻联系。
　　后来证明第二种观点是正确的。在研究了j（z）的各个系数以后，McKay和JohnThomson提出了一个猜想，即所有的系数（不只是196884）都与魔群有关。这个猜想后来被康威和SimonNorton扩展，他们提出了所谓魔幻月光猜想（monstrousmoonshineconjecture），在1992年被RichardBorcherds证明（这里使用了月光二字，说明开始时人们觉得魔群与j函数的联系朦胧如月色，令人不敢相信）。
　　Borcherds为了证明这个猜想引进了一个新的代数结构，并称之为顶点代数，而为了分析顶点代数，他又利用了来自弦论的结果。换句话说，借助于理论物理学的概念，他解释了两个看来很不相同的纯粹数学领域的联系。
　　这个例子用很极端的方式说明了数学研究的另一个一般原则如果能够从不同的数学来源，得到同样的数字序列（或者同样的更一般的数学结构），那么这两个数学来源大概有点联系，不会如初看时觉得的那样互不相关。此外，如果能够找到一个深刻的联系，说不定就会被引到其他深刻联系。有许多别的例子，其中完全不同的计算给出了相同的答案，而至今未得解释。这些现象后来成了数学中的某些最困难最吸引人的未解决问题。
　　更有趣的是，j函数还引到了第二个著名的数学偶合。
　　但是它的十进小数展开是这样开始的
　　注意，小数点后紧接着12个9。它与一个整数262537412640768744如此惊人地接近，二者只相差不到210（13）。开始的时候，这件事又一次诱使人把它只当成一个偶合，但是，屈服于一个诱惑之前，必须三思而行。毕竟不会有很多的数定义可以如
　　一样简单，而其接近于一个整数的程度也如它自己那样。事实上，这完全不是偶合，关于其解释涉及到代数数，这是以后的话题了。