如何求等差数列之和

　　在本文中：评估数列计算总和完成例题参考
　　等差数列是每一项与它的前一项的差等于一个常数的数列。如果要求等差数列之和，你可以将所有数字手动相加。但是，当数列包含大量数字时，就无法使用这种方法了。这时，你可以使用另一种方法，即用数列首项和末项的平均数乘以数列项数，从而快速算出任何等差数列之和。
　　部分
　　1：评估数列
　　1：确定数列是等差数列。等差数列是一组有规律的数字，其中各数字的增量是一个常数。本文所述方法仅适用于等差数列。
　　要确定数列是否是等差数列，你可以计算前面几个数字之间的差值和最后几个数字之间的差值。等差数列的差值应始终相等。
　　例如，数列10，15，20，25，30是一个等差数列，因为各项之间的差值等于常数（5）。
　　2：确定数列的项数。每个数字构成一项。如果数列只包含列出的几个数字，你可以数一数共有多少项。否则，在知道首项、末项，以及被称为公差的各项之差的情况下，你可以使用公式来算出项数。我们可以使用变量
　　｛displaystylen｝
　　来代表这个数字。
　　例如，如果你要计算数列10，15，20，25，30之和，则
　　｛displaystylen5｝
　　，因为数列共有5项。
　　3：确定数列的首项和末项。要计算等差数列之和，你必须知道这两个数字。第一个数字常常为1，但也并不一定。我们可以设变量
　　｛displaystylea｛1｝｝
　　等于数列首项，变量
　　｛displaystylea｛n｝｝
　　等于数列末项。
　　例如，在数列10，15，20，25，30中，
　　｛displaystylea｛1｝10｝
　　，而
　　｛displaystylea｛n｝30｝
　　。
　　部分
　　2：计算总和
　　1：列出计算等差数列之和的公式。公式为
　　｛displaystyleS｛n｝n（｛frac｛a｛1｝a｛n｝｝｛2｝｝）｝
　　，其中
　　｛displaystyleS｛n｝｝
　　等于数列之和。
　　注意，此公式表明等差数列之和等于首项和末项的平均数乘以项数。
　　2：将变量
　　n｛displaystylen｝
　　、
　　a1｛displaystylea｛1｝｝
　　和
　　an｛displaystylea｛n｝｝
　　代入公式中。确保代入步骤正确。
　　例如，如果数列有5项，首项为10，末项为30，则代入后公式变成：
　　｛displaystyleS｛n｝5（｛frac｛1030｝｛2｝｝）｝
　　。
　　3：计算首项和末项的平均数。将两个数字相加，然后除以2。
　　例如：
　　｛displaystyleS｛n｝5（｛frac｛40｝｛2｝｝）｝
　　｛displaystyleS｛n｝5（20）｝
　　4：用平均数乘以数列的项数。这样就算出了等差数列之和。
　　例如：
　　｛displaystyleS｛n｝5（20）｝
　　｛displaystyleS｛n｝100｝
　　因此，数列10，15，20，25，30之和等于100。
　　部分
　　3：完成例题
　　1：计算1到500之间所有数字之和。考虑所有的连续整数。
　　确定数列的项数
　　｛displaystylen｝
　　。由于需要考虑500以内的所有连续整数，因此
　　｛displaystylen500｝
　　。
　　确定数列的首项
　　｛displaystylea｛1｝｝
　　和末项
　　｛displaystylea｛n｝｝
　　。由于数列是从1到500，所以
　　｛displaystylea｛1｝1｝
　　，而
　　｛displaystylea｛n｝500｝
　　。
　　计算
　　｛displaystylea｛1｝｝
　　和
　　｛displaystylea｛n｝｝
　　的平均数：
　　｛displaystyle｛frac｛1500｝｛2｝｝250。5｝
　　。
　　用平均数乘以
　　｛displaystylen｝
　　：
　　｛displaystyle250。5times500125，250｝
　　。
　　2：求下述等差数列之和。数列的首项为3。数列的末项为24。公差为7。
　　确定数列的项数
　　｛displaystylen｝
　　。由于数列的第一项为3，最后一项为24，而每一项比前一项大7，所以这个数列是3，10，17，24。以上推论是根据公差的定义得出，公差即数列中各项与前一项之差。这意味着
　　｛displaystylen4｝
　　确定数列的首项
　　｛displaystylea｛1｝｝
　　和末项
　　｛displaystylea｛n｝｝
　　。由于数列是从3到24，所以
　　｛displaystylea｛1｝3｝
　　，而
　　｛displaystylea｛n｝24｝
　　。
　　计算
　　｛displaystylea｛1｝｝
　　和
　　｛displaystylea｛n｝｝
　　的平均数：
　　｛displaystyle｛frac｛324｝｛2｝｝13。5｝
　　。
　　用平均数乘以
　　｛displaystylen｝
　　：
　　｛displaystyle13。5times454｝
　　。
　　3：解以下问题。陈静在一年的第一周存了5元钱。在这一年中剩下的时间里，她每周会比前一周多存5元钱。年末时，陈静共存了多少钱？
　　确定数列的项数
　　｛displaystylen｝
　　。由于陈静存了1年，而1年有52周，所以
　　｛displaystylen52｝
　　。
　　确定数列的首项
　　｛displaystylea｛1｝｝
　　和末项
　　｛displaystylea｛n｝｝
　　。她存的第一笔钱金额为5元，所以
　　｛displaystylea｛1｝5｝
　　。她在这一年最后一周存的金额可以计算得出，
　　｛displaystyle5times52260｝
　　。因此，
　　｛displaystylea｛n｝260｝
　　。
　　计算
　　｛displaystylea｛1｝｝
　　和
　　｛displaystylea｛n｝｝
　　的平均数：
　　｛displaystyle｛frac｛5260｝｛2｝｝132。5｝
　　。
　　用平均数乘以
　　｛displaystylen｝
　　：
　　｛displaystyle135。5times527，046｝
　　。所以，她在年末时共存了7，046元。
　　参考
　　https：www。mathsisfun。comalgebrasequencessumsarithmetic。html
　　https：www。khanacademy。orgmathcalculushomeseriescalcseriescalculusvformulaforarithmeticseries
　　http：www。purplemath。commodulesseries4。htm
　　https：www。mathsisfun。comalgebrasequencessumsarithmetic。html