盘点圆的最值问题求解策略，突破中考热点有实招

　　圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质。由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解。
　　而圆中的最值问题综合性较强，有一定难度，在中考为热点难点题型，经常出现，下我们就来总结一下这类问题的一般解法。
　　策略一：利用直径是圆中最大的弦
　　1。（2020秋东台市期中）如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB30，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点，若O的半径为8，则GEFH的最大值为（）
　　A8B12C16D20
　　【解答】：连接OA、OB，如图所示：
　　ACB30，AOB2ACB60，
　　OAOB，AOB为等边三角形，
　　O的半径为8，ABOAOB8，
　　点E，F分别是AC、BC的中点，EF12AB4，
　　要求GEFH的最大值，即求GEFHEF（弦GH）的最大值，
　　当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：8216，
　　GEFH的最大值为：16412
　　故选：B
　　策略二：过圆内一点的弦中，与过该点的直径垂直的弦最短。
　　2。（2020秋沭阳县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线ykx3k4（k0）与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为
　　【解析】：连接OB，
　　直线ykx3k4必过点D（3，4），
　　最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
　　点D的坐标是（3，4），
　　OD5，
　　以原点O为圆心的圆过点A（13，0），
　　圆的半径为13，OB13，
　　BD12，
　　BC2BD24，
　　BC的长的最小值为24；
　　故答案为：24
　　策略三：弓形上的点到弦的距离中，最大距离是该弧的中点到弦的距离（或者过圈心的一条垂线段）。
　　3。（2011南昌中考题）如图，已知O的半径为2，弦BC的长为23，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）
　　（1）求BAC的度数；
　　（2）求ABC面积的最大值
　　（参考数据：sin6032，tan3033）
　　【解析】（1）连接OB、OC，作OEBC于点E，由垂径定理可得出BEEC3，在RtOBE中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出BOE的度数，再由圆周角定理即可求解BAC60；
　　（2）因为ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处
　　策略四：如图，若点P不在OO上，射线OP交圆O于M，射线OP的反向延长线交OO于N，则点P到圆上各点中，PM的长最小，PN的长最大。
　　4。如图，O的直径为4，C为O上一个定点，ABC30，动点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点
　　（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为
　　（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为
　　【解析】：（1）如图1中，
　　AB是直径，ABC30，AB4
　　ACB90，AP60，AC2，
　　CDPC，
　　PCD90，CDPCtan60，
　　PC的最小值AC2，PC的最大值为直径4，
　　（2）如图2中，
　　在RtPCD中，PCD90，P60，
　　PDC30，
　　点D在以BC为弦的O（红弧线）上运动，
　　当A、O、D共线时，AD的值最大连接CO、BO
　　BOC2CDB60，OCOB，
　　OBC是等边三角形，
　　策略五：如下图，直线L与圆O相离，线段OPL，垂足为P，交O0于点M，PO的延长线交圆O于点N，则圆O上各点到直线L的距离中，最小距离是PM的长，最大距离是PN的长。
　　5。在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的O上，连接OC，过O点作ODOC，OD与O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB
　　（1）当OCAB时，BOC的度数为；
　　（2）连接AC，BC，当点C在O上运动到什么位置时，ABC的面积最大？并求出ABC的面积的最大值。
　　【解析】（1）根据点A和点B坐标易得OAB为等腰直角三角形，则OBA45，由于OCAB，所以当C点在y轴左侧时，有BOCOBA45；当C点在y轴右侧时，有BOC180OBA135；
　　（2）OAB为等腰直角三角形，
　　AB2OA62，
　　当点C到AB的距离最大时，ABC的面积最大，
　　过O点作OEAB于E，OE的反向延长线交O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
　　策略六：直线L与半径为r的圆相离，圆心O到直线L的距离为d，点P为直线L上任意一点，PA与圆O相切于点A，则PA的最小值是，此时OPA最大。
　　6。如图，在RtAOB中，OAOB32，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为
　　【解析】：连接OP、OQ
　　PQ是O的切线，
　　OQPQ；
　　7。（2020秋宜兴市期末）如图，在矩形ABCD中，CD是O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB4，BC6，PM、PN相切于点M、N，当MPN最大时，PM的长为
　　【分析】先判断出OPAE时，MPN最大，判断出ABEGCE，求出CG4，再用勾股定理求出AE5，再判断出ABEGPO，求出OP，最后用勾股定理求解，即可得出结论
　　【解答】：如图1，四边形ABCD是矩形，
　　CDAB4，
　　连接OP，OM，
　　PM，PN是O的切线，
　　OPM12MPN，
　　要MPN最大，则OPM最大，
　　PM是O的切线，
　　OMP90，
　　在RtPMO中，OMOD12CD2，
　　sinOPMOMOP2OP，
　　要OPM最大，则OP最短，
　　即OPAE，
　　如图2，延长DC交直线AE于G，
　　四边形ABCD是矩形，
　　B90ECG，ABCD，
　　BAEG，
　　点E是BC的中点，
　　BE12BC3，
　　ABEGCE（AAS），
　　CGAB4，
　　CD是O的直径，
　　OC12CD2，
　　OGOCCE6，
　　在RtABE中，AB4，BE3，
　　AE5，
　　OPG90B，GBAE，
　　ABEGPO，
　　策略七：弦与弦心距的关系：弦心距越大，弦越小；弦心距越小，弦越大。
　　弓形的弦与所对的圆周角的关系：圆周角越大，所对的弦越大。
　　策略八：利用将军饮马模型
　　9。（2014张家界中考题）如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB8，CD6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PAPC的最小值为
　　【分析】A、B两点关于MN对称，因而PAPCPBPC，即当B、C、P在一条直线上时，PAPC的最小，即BC的值就是PAPC的最小值
　　【解答】：连接OB，OC，作CH垂直AB于H
　　不难发现，中考考题考的不是难度，而是思维。知识是载体，素养是目标。通过如此专题复习课中，我们除了要求学生掌握基本知识、基本技能之外，还需要学生掌握基本的数学思想，积累活动经验，因此我们需要一题多解、一题多变，并让学生注意一些比较相似的题目的区别与联系，避免就题讲题，让学生陷入题海战术。
　　因此，需要教师在课堂中与学生一起进行总结。构建完整的知识体系，务必灵活地运用知识解决实际问题。把复习的重点知识与解题的方法进行总结提升，让学生慢慢具备触类旁通、上下贯通的能力。