高中数学导数知识点总结及应用

　　知识点总结
　　一。导数概念的引入
　　1。导数的物理意义：
　　瞬时速率。一般的，函数yf（x）在x
　　处的瞬时变化率是
　　2。导数的几何意义：
　　曲线的切线，当点
　　趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线的斜率是
　　当点
　　趋近于P时，函数yf（x）在x
　　处的导数就是切线PT的斜率k，即
　　3。导函数：
　　当x变化时，
　　便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数。yf（x）的导函数有时也记作
　　，即
　　。
　　二。导数的计算
　　基本初等函数的导数公式：
　　导数的运算法则：
　　复合函数求导：
　　yf（u）和ug（x），则称y可以表示成为x的函数，即yf（g（x））为一个复合函数。
　　三、导数在研究函数中的应用
　　1。函数的单调性与导数：
　　一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a，b）内
　　（1）如果
　　0，那么函数yf（x）在这个区间单调递增；
　　（2）如果
　　0，那么函数yf（x）在这个区间单调递减；
　　2。函数的极值与导数：
　　极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
　　求函数yf（x）的极值的方法有：
　　（1）如果在
　　附近的左侧
　　0，右侧
　　0，那么
　　是极大值；
　　（2）如果在附近的左侧
　　0，右侧
　　0，那么
　　是极小值；
　　3。函数的最大（小）值与导数：
　　求函数yf（x）在a，b上的最大值与最小值的步骤：
　　（1）求函数yf（x）在a，b内的极值；
　　（2）将函数yf（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
　　四。推理与证明
　　（1）合情推理与类比推理
　　根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理，归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
　　根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
　　类比推理的一般步骤：
　　（1）找出两类事物的相似性或一致性；
　　（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；
　　（3）一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；
　　（4）一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
　　（2）演绎推理（俗称三段论）
　　由一般性的命题推出特殊命题的过程，这种推理称为演绎推理。
　　（3）数学归纳法
　　1。它是一个递推的数学论证方法。
　　2。步骤：
　　A。命题在n1（或
　　）时成立，这是递推的基础；
　　B。假设在nk时命题成立；
　　C。证明nk1时命题也成立。
　　完成这两步，就可以断定对任何自然数（或n
　　，且nN）结论都成立。
　　证明方法：1、反证法；2、分析法；3、综合法；
　　解题技巧
　　热点考向一导数在方程中的应用
　　〔典例1〕
　　已知函数f（x）x2（a4）x2a25a3（aR）
　　（1）当a3时，求函数f（x）的零点；
　　（2）若方程f（x）0的两个实数根都在区间（1，3）上，求实数a的取值范围
　　〔方法规律〕
　　利用导数解决函数零点（方程的根）问题的主要方法
　　（1）利用导数研究函数的单调性和极值，通过对极值正负的讨论研究根的问题；
　　（2）利用数形结合研究方程的根；
　　（3）利用导数结合零点定理研究根的存在问题；
　　（4）转化为不等式或最值问题解决函数零点问题。
　　热点考向二导数在不等式中的应用
　　〔方法规律〕
　　利用导数解决不等式问题的类型
　　（1）不等式恒成立：基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题
　　（2）比较两个数的大小：一般的思路是把两个函数作差后构造一个新函数，通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个数的大小
　　（3）证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决
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　　来源：综合网络