无理数就是不能表示为整数或整数之比的实数，如2、等等。这些数不像自然数或负数那样，可在实际生活中直接碰到，它是在数学计算中间接发现的。
　　人们发现的第一个无理数是2。据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。古希腊毕达哥拉斯学派是一个研究数学、科学、哲学的团体，他们推崇比例论，即认为一切数都是整数或者是整数之比。有一个名叫希帕蒂斯的学生，在研究1和2的比例中项时，左思右想都想不出这个中项值。后来他画一边长为1的正方形，设对角线为，于是根据毕达哥拉斯定理：
　　11112。他想：代表正方形对角线长，而2，那么必定是确定的数。但它是整数还是分数呢？他证明不能是整数，因111，224，2，必定大于1而小于2，1与2之间却没有别的整数。那么会不会是分数呢？毕达哥拉斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个分数。
　　这样，如果既不是整数又不是分数，就与毕达哥拉斯学派的信条有了矛盾。于是许多人都否定这个数的存在。而希帕索斯等人却认为这必定是一个新数。这一发现，使得毕达哥拉斯学派的比例论动摇了，从而导致了西方数学史上的第一次数学危机。而希帕索斯本人因违背了比例论的信条而受到处罚，被扔到大海里淹死了。
　　无理数的发现，使数的概念又扩展了一步。

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