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一道金典中考几何题的解析

  如图,已知点C在O上,延长直径AB到点P,连接PC,COB2PCB。
  (1)求证:PC是O的切线。
  (2)若ACPC,且PB3,M是O下半圆弧的中点,求MA的长。
  考点:切线的判定;勾股定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理。菁优网版权所有。
  分析
  (1)由于OAOC,那么OACOCA,则COB2OCA,又COB2PCB,可求OCAPCB,而AB是直径,可知OCAOCB90,从而有PCBOCB90,即OCP90,从而可证CP是O切线;
  (2)连接BM,由于M是弧AB中点,那么AMBM,而AMB90,易知MABMBA45,而ACCP,则PCAO,又BCPCAO,从而有PBCP,即BCBP3,而CBO2P,BOC2CAO,于是BOCCBO,而OBOC,那么可證BOC是等边三角形,从而有OBBC3,即AB6,在RtAMB中,利用特殊三角函数值可求AM。
  解答
  解:(1)OAOC,OACOCA,COB2OCA,
  COB2PCB,OCAPCB,
  AB是O直径,ACB90,
  OCAOCB90,
  PCBOCB90,
  PCO90,
  点C在O上,PC是O的切线;
  (2)连接BM。
  M是O下半圆弧中点,弧AM弧BM,AMBM,
  AB是O直径,AMB90,BAMABM45,
  ACPC,OACPOCAPCB,BCBP,
  OCOB,OBCOCB2PCB,
  BOC2CAO,BOCOBCOCB,BOC是等边三角形,OBBC,
  PB3,BC3,AB6,
  在RtABM中,AMB90,AMsin45AB3
  点评
  本题考查了圆周角定理、切线的判定、等边三角形的判定和性质、特殊三角函数值的计算。解题的关键是连接BM,构造直角三角形AMB,并证BOC是等边三角形。

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