名师系列函数最值隐含形的几类问题处

　　作者：蔡路，天津师范大学教师教育学院。
　　一、文章摘要
　　函数最值隐含形的问题主要是指利用函数的几何特征（形状、大小、相互位置关系）来解决最值问题。这类题不仅考查学生对知识的融会贯通程度，还考查学生对知识迁移交叉应用的能力（如运用几何特征解决代数问题）。目前，受教材知识体系编排的制约，中学数学教材的重中之重仍是代数。初中三年的平面几何，基本上是从公理到定理、从定理到定理的反复演练，与代数的交叉、沟通极其有限。高考加强对这类题的考查，一是弥补了教材编排的不足，二是督促学生建立数形结合的意识，提高迁移交叉应用能力。
　　二、试题呈现
　　本文现以2014年数学高考题为例，以题目覆盖知识点的单一或综合程度为划分标准，将函数最值隐含形的问题分两大类七小类进行总结。
　　三、题型梳理
　　下面从七种题型逐一分析各自题型的解题策略。
　　题型1：一次函数（简单线性规划）的最值问题
　　简单线性规划最值问题隐含的形有两处：一是线性约束条件的图形化；二是目标函数的图形化。
　　题型2：绝对值函数的最值问题
　　绝对值函数最值问题隐含的形主要涉及到绝对值的几何意义，即xa表示数轴上点x到点a的距离。对于形如f（x）mxanxb，（m，n，a，b0）的函数，可利用绝对值的几何意义来求最值。
　　题型3：复合函数与分段函数的最值问题
　　最值问题多是高中常见基本初等函数的复合或分段，此类函数隐含的形需注意函数与其定义域的对应，画出正确的函数图象来解决问题。
　　题型4：三角函数的最值问题
　　三角函数最值问题隐含的形主要是指函数yAsin（x）k的平移伸缩问题，这类问题属于仿射变换，图形间的相对位置关系不变。因此可将（x）看作整体x，然后利用函数ysinx图象的性质解决原函数的问题；或是直接利用ysinx图象中的相对位置关系解决原函数的问题。
　　题型5：导数的最值问题
　　导数最值问题隐含的形是指通过导数判断原函数的增减趋势及拐点，从而绘制草图，通过图形辅助解题。
　　题型6：一次函数与圆锥曲线结合的最值问题
　　一次函数与圆锥曲线最值问题隐含的形表现在求一次函数与圆锥曲线所形成图形（线段、三角形、四边形等）长度、面积的最值问题时，长度、面积的表达式通常是熟悉函数解析式（三角函数、反比例函数、对勾函数），此时需用函数的图象求出最值。
　　题型7：函数与向量的最值问题
　　函数与向量最值问题隐含的形主要是指，灵活地将向量转化为熟悉的函数（如一次函数、三角函数），然后用函数图象的性质解决问题；或是将向量转化为熟悉的几何图形，用图形的性质解决问题。
　　四、文章小结
　　运用数形结合方法，分析函数的最值问题，是一种重要的解题手段。从上述高考试题可以看出，运用数形结合方法分析题目往往能令解题思路更加清晰，从而高效地解决问题，达到事半功倍的效果。对于单一函数问题，一方面通过挖掘不等式、绝对值等数量关系直观的几何意义，从而运用数形结合的方法快速地解决问题；另一方面利用导数描绘出函数的形状，从图形着手找出解决问题的突破口。对于函数与其它知识综合的最值问题，一方面是将问题转化为熟悉的函数，进而运用函数的图象解决问题；另一方面是直接考虑数量关系的几何图形，从而转化为图形间的问题，再运用图形的几何性质加以解决。