写在前面：建议读者看完题后，先自己亲自做下，然后再结合本文分析来看，这样效果会更好！ 各位考研狗辛苦了，先给各位上两道小菜，让各位再辛苦下！ 两道第二类曲面积分题目的计算： 哎呦！ 不是度过了打拼的年龄，就应该退隐江湖吗？ 不是度过了打拼的年龄，就应该食山果饮甘露，日抚瑶琴夜读诗书吗？ 2009年的第二型曲面积分，这货怎么又重出江湖兴风作浪了？ 难道说武林有一场大事发生？ 稍作镇定下来，我定了定神，思考第二型曲面积分长啥样？ 1第二型曲面积分长啥样？ 第二型曲面积分呢，也叫对坐标的曲面积分，题目中会出现P、Q、R三个的积分，它长这个样子 继续展开思考哦 假如现在就让你算一个曲面积分，没有P、Q这两个函数，只有R，这里的曲面取得比较特殊，它就取的是一个xoy上的一个平面区域，那你想一下，我可以不可以这样讲：这其实就等同于算一个平面区域上的二重积分？、 不可以！ 为什么？ 因为第二型的曲线积分、第二型的曲面积分啊，一定要注意方向！ 刚才所提问的，其实是没有指明方向，如果你说清楚这里的平面区域是向上或者向下，那么在结果上就要加正号或者负号。 2第二型曲面积分的计算 还记得第二型曲面积分怎么计算吗？有几种方法呀？ 有两种解法。 一种是咱们平时的基本计算，也就是将第二类曲面积分化为二重积分来计算； 另一种计算办法是高斯公式法，也就是将第二类曲面积分转化成3重积分。 进一步展开讲讲这两种方法： 3第一种计算方法 在第一种方法中，我们把它叫做：一代二换三定号。 所谓一代，指的是将曲面方程代入被积函数，即将被积函数中的某一个量借助曲面方程来表示出来，这一步是必须做的。 所谓二换，指的是将ds换成dxdy，将曲面sigma换成Dxy，当然，这里讲的是假设它投影到xoy平面， 最后所谓的三定号，指的是需要我们最后在二重积分的结果前面加上正负号，上为正，右为正，前为正，其余为负，主要是看平面的法向量方向与z轴正向的夹角为锐角还是钝角，如果是锐角，则为正，反之则为负。 4第二种计算法高斯公式法！ 第二个计算方法高斯公式法呢，乃高斯前辈所创，这套方法是将第二类曲面积分化成了3重积分来计算，虽然说积分重数上增大了，但是实际上简化了运算。 既然是有用的公式，那么就有对应的使用条件，针对使用条件，考试中心那帮人肯定就会给你使坏，给你破坏公式！ 术清晰了，咱们回看开头给的那两道小菜！ 不就是计算第二类曲面积分吗？我用高斯公式分分钟灭掉你！来吧！比试比试！ 5第一题的解答 第一题的解答如下： 如果你的答案是上面的，那么恭喜你！ 数字对了，步骤错了！ 你得不到满分！！！ 什么情况？难道是敌人布下了陷阱？我们上当了？？？ 低下高昂的头颅，重新认真分析，可恶，这题所给条件不封闭，我得加个面，然后将曲面方程代入到被积函数中，很熟悉的套路！ 咦？哪里好像不对劲？ 啊！竟然是它！又是你不连续！！！我知道哪里出问题了！重新来战！！！ 说时迟，那时快，我轻轻画了一条线，重新排了顺序，转眼间得到满分了！！！ 补充的那个面含有奇点，如果先补面，然后再带入，势必会让高斯公式失效，发挥不了威力，因此只能先将曲面方程代入被积函数，打好这个头阵，然后再补面！ 思考完毕，我将自己对这道题的学习心得写在了旁边： 就算是加面减面，也得将顺序调整好！ 6第二题的解答（2009年真题！） 既然是加了个面，那我就减去这个面（不要管什么积分符号，就按照最简单的数学加减来想），紧接着再利用高斯公式，转化成3重积分，最后成功算出了答案！ 答案虽好，可是却费时费力！！！ 眼尖的同学，估计已经看出来这道题在哪出现过了，它不仅仅是一到考研真题，更是2018某数学18讲中的一道例题！图片为证！ 考研狗们，需要你静下心来思考一下了！ 做题绝不是做出个答案，一看对了就万事大吉了，不要忘了优化！ 试想一下，等到你正式上战场时，拼的就是速度和准确度，你这个解法在前面计算偏导数时，耗费了大量的时间，而且万一在考场上紧张呢，忙中出错呢？？？ 像只用这种教材辅导书教出来的徒弟，做了不多多思考，恐怕在战场上会大大的吃亏！ 破敌之道，关键就是宝刀君平日强调的稳、准、快！ 怎么破？怎么样提高速度？谁能告诉我？ 哪位高数前辈可以告诉我？费马？拉格朗日？格林？高斯？ 对了，格林、高斯！我知道怎么做了！！！ 优化后的解法如下： 能写出上面这个答案的，估计就是已经将格林公式和高斯公式融会贯通了！！！ 事实上，格林公式和高斯公式有异曲同工之妙，回想一下格林公式：任何2条同向包含奇点在内的封闭曲线，两条曲线积分的结果都是一样的，那么回到高斯公式上，任何包含奇点在内的两个曲面，只要方向相同，那么他们两的曲面积分记过也是相同的，经过这样构造的曲面方程，就可以顺利的去掉分母，然后再次使用高斯公式，简化计算！！！ 其实，从刚才第二题的第一个解法步骤中，其实我们也能发现，原式的曲面积分积分值，就等于重新构造的在这个同向曲面上的积分值，就是： 那么，格林公式和高斯公式又有何不同呢？ 像之前的第二类曲线积分，你如果碰上了，一定要用格林公式，而至于高斯公式嘛，满足条件你就用，如果不满足，那就老老实实的用第一个计算方法吧！ 7总结 以上是对第二类曲面积分的分析，这个内容确确实实是考研考试中的重点，但是我们不要忘了，还有第1类曲面积分呢？它要是哪一年冷不丁出出来，难度一点都不必第二类曲面积分难度小！ 如何应对？ 点击文末下方的阅读全文，让宝刀君在知乎上发表的文章告诉你！
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