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函数方程与不等式一家亲

2月10日 渡缘祠投稿
  【前言】
  函数,方程与不等式,看似无关的三个数学概念领域,但在适当成熟的条件下,自然会形成一个融合完整的有机整体。这三者一旦结义联盟,形影相随,就会以强大的不可抗拒的实力解决数学中好多难题。下面几例,就足够说明一切。
  【身同感受】
  一、不等式问题
  本题表面是不等式恒成立问题,但解决问题的有效办法却是,参数分离,构造函数求最值。巧妙将不等式问题(恒成立)转化为函数(求最值)问题。
  本题依然表面是不等式恒成立问题,但解决问题的有效办法却是,构造函数由图像上下位置求指数幂的底数。巧妙地将不等式(恒成立)问题,转化为函数(同一系下图像上下位置,对指数幂底数的影响)问题
  二、方程问题
  本题表面是方程实根个数判定问题,但解决问题的有效办法却是,构造函数以交点个数决定指数幂的底数。也就是巧妙地将方程(实数根个数)问题,转化为函数(图像变换,指数幂底数比较大小)问题。
  本题表面是方程实根之和问题,但解决问题的有效办法却是,构造一对反函数计算交点的中点坐标。本质是巧妙地将方程(实数根之和)问题,转化为函数(反函数图像之间的对称关系)问题。
  本题表面是方程有解问题,但解决问题的有效办法却是,构造函数求值域。其实在也是将方程(根的存在性判断)问题,转化为函数(函数求值域,定轴定区间)问题。
  三、函数问题
  本题表面是函数定义域问题,但解决问题的有效办法却是,构造不等式恒成立,最终又构造方程,解决其无实根。本题的核心是,将函数(定义域的逆向求参数)问题,巧妙地转化为方程(判别式)问题。
  方法1本题表面是函数值域问题,但解决问题的有效办法却是,构造方程有解,用其判别式求解不等式。函数求值域的判别式法,以方程有实数解,代替计算函数值域。
  方法2本题表面是函数值域问题,但解决问题的有效办法却是,构造不等式求解,计算值域。计算函数值域的相互表示法,以其他函数的值域,巧妙计算本函数的值域。
  【规律探究】
  参数取值问题的本质转化规律:
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