超全几何模型中点角平分线手拉手半

　　中点模型
　　【模型1】倍长
　　1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交
　　【模型2】遇多个中点，构造中位线
　　1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连
　　【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，ABC60，G是DF的中点，连接GC、GE
　　（1）如图1，当点E在BC边上时，若AB10，BF4，求GE的长；
　　（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GE、GC有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；
　　（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明
　　【解答】
　　（1）延长EG交CD于点H
　　易证明CHGCEG，则GE33
　　（2）延长CG交AB于点I，
　　易证明BCEFIE，则CEI是等边三角形，GE3GC，且GEGC
　　（3）
　　【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AEAF，DAEBAF。
　　（1）求证：CECF；
　　（2）若ABC120，点G是线段AF的中点，连接DG、EG，求证：DGEG。
　　【解答】
　　（1）证明ABEADF即可；
　　（2）延长DG与AB相交于点H，连接HE，证明HBEEFD即可
　　【例3】如图，在凹四边形ABCD中，ABCD，E、F分别为BC、AD的中点，BA交EF延长线于G点，CD交EF于H点，求证：BGECHE。
　　【解答】
　　取BD中点可证，如图所示：
　　角平分线模型
　　【模型1】构造轴对称
　　【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形
　　【例4】如图，平行四边形ABCD中，AE平分BAD交BC边于E，EFAE交边CD于F点，交AD边于H，延长BA到G点，使AGCF，连接GF。若BC7，DF3，EH3AE，则GF的长为。
　　【解答】
　　延长FE、AB交于点I，易得CECF，BABE，设CEx，则BACD3x，BE7x，
　　3x7x，x2，ABBE5，AE，作AJBC，连接AC，求得GFAC3
　　手拉手模型
　　【条件】OAOB，OCOD，AOBCOD
　　【结论】OACOBD，AEBAOBCOD（即都是旋转角）；OE平分AED
　　【例5】（2014重庆市A卷）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且，连接BE过点C作CFBE，垂足是F，连接OF，则OF的长为
　　【答案】655
　　【例6】如图，ABC中，BAC90，ABAC，ADBC于点D，点E在AC边上，连接BE，AGBE于F，交BC于点G，求DFG
　　【答案】45
　　【例7】（2014重庆B卷）如图，在边长为62的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线一点，BEDG，连接EG，CFEG交EG于点H，交AD于点F，连接CE、BH若BH8，则FG
　　【答案】52
　　邻边相等对角互补模型
　　【模型1】
　　【条件】如图，四边形ABCD中，ABAD，BADBCDABCADC180
　　【结论】AC平分BCD
　　【模型2】
　　【条件】如图，四边形ABCD中，ABAD，BADBCD90
　　【结论】ACBACD45；BCCD2AC
　　【例8】如图，矩形ABCD中，AB6，AD5，G为CD中点，DEDG，FGBE于F，则DF为。
　　【答案】955
　　【例9】如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M，使BM1，连接AM，过点B作BNAM，垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连结ON，则ON的长为。
　　【答案】655
　　【例10】如图，正方形ABCD的面积为64，BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE、BF交于点G，则DG的长为。
　　【答案】434
　　半角模型
　　【模型1】
　　【条件】如图，四边形ABCD中，ABAD，BADBCDABCADC180，EAF
　　12BAD，点E在直线BC上，点F在直线CD上【结论】BE、DF、EF满足截长补短关系
　　【模型2】
　　【条件】如图，在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足EAF45，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N
　　【结论】BEDFEF；
　　；AHAB；
　　；BM2DN2MN2；
　　ANMDNFBEMAEFBNADAM（由AO：AHAO：AB1：2可得到ANM和AEF相似比为1：2）
　　AOMADF；AONABE；
　　AEN为等腰直角三角形，AEN45，AFM为等腰直角三角形，AFM45；A、M、F、D四点共圆，A、B、E、N四点共圆，M、N、F、C、E五点共圆
　　【模型2变形】
　　【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是CB、DC延长线上的点，且满足EAF45
　　【结论】BEEFDF
　　【模型2变形】
　　【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是BC、CD延长线上的点，且满足EAF45
　　【结论】DFEFBE
　　【例11】如图，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线EF与线段AB相交于点G，与射线CA相交于点Q。若AQ12，BP3，则PG。
　　【解答】连接AE，题目中有一线三等角模型和半角模型
　　设ACx，由BPCCEQ得
　　BPCEBECQ，3（（22）x）（22）x（x12），解得x12
　　设PGy，由AG2BP2PG2得32（123x）2x2，解得x5
　　【例12】如图，在菱形ABCD中，ABBD，点E、F在AB、AD上，且AEDF连接BF与DE交于点G，连接CG与BD交于点H，若CG1，则S四边形BCDQ
　　【解答】34
　　一线三等角模型
　　【条件】EDFBC，且DEDF
　　【结论】BDECFD
　　【例13】如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB3，GC4，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为。
　　【解答】如图，构造一线三等角模型，EFHFGI
　　则BCBFCFHFBHFICIGIBHHECI733
　　弦图模型
　　【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段
　　【结论】新构成了同心的正方形
　　【例14】如图，点E为正方形ABCD边AB上一点，点F在DE的延长线上，AFAB，AC与FD交于点G，FAB的平分线交FG于点H，过点D作HA的垂线交HA的延长线于点I。若AH3AI，FH22，则DG
　　【解答】1724
　　【例15】如图，ABC中，BAC90，ABAC，ADBC于点D，点E是AC中点，连接BE，作AGBE于F，交BC于点G，连接EG，求证：AGEGBE
　　【解答】过点C作CHAC交AG的延长线于点H，易证
　　最短路径模型
　　【两点之间线段最短】
　　1、将军饮马
　　2、费马点
　　【垂线段最短】
　　【两边之差小于第三边】
　　【例16】如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值
　　【解答】6005003，点线为最短
　　【例17】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AEDF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值为
　　【解答】如图，取AB中点P，连接PH、PD，易证PHPDPH即DH51
　　课后练习题
　　【练习1】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，AEB90，AC、BD交于O已知AE、BE的长分别为3、5，求三角形OBE的面积
　　【解答】52
　　【练习2】已知：如图1，正方形ABCD中，为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG
　　求证：EGCG且EGCG；
　　将图1中BEF绕B逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由
　　将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？
　　【解答】
　　略
　　方法一：如图所示
　　方法二：如图所示
　　（3）
　　方法一：
　　方法二：