万字教你如何用Python实现线性规划

　　线性规划说明什么是线性规划？
　　想象一下，您有一个线性方程组和不等式系统。这样的系统通常有许多可能的解决方案。线性规划是一组数学和计算工具，可让您找到该系统的特定解，该解对应于某些其他线性函数的最大值或最小值。什么是混合整数线性规划？
　　混合整数线性规划是线性规划的扩展。它处理至少一个变量采用离散整数而不是连续值的问题。尽管乍一看混合整数问题与连续变量问题相似，但它们在灵活性和精度方面具有显着优势。
　　整数变量对于正确表示自然用整数表示的数量很重要，例如生产的飞机数量或服务的客户数量。
　　一种特别重要的整数变量是二进制变量。它只能取零或一的值，在做出是或否的决定时很有用，例如是否应该建造工厂或者是否应该打开或关闭机器。您还可以使用它们来模拟逻辑约束。为什么线性规划很重要？
　　线性规划是一种基本的优化技术，已在科学和数学密集型领域使用了数十年。它精确、相对快速，适用于一系列实际应用。
　　混合整数线性规划允许您克服线性规划的许多限制。您可以使用分段线性函数近似非线性函数、使用半连续变量、模型逻辑约束等。它是一种计算密集型工具，但计算机硬件和软件的进步使其每天都更加适用。
　　通常，当人们试图制定和解决优化问题时，第一个问题是他们是否可以应用线性规划或混合整数线性规划。
　　以下文章说明了线性规划和混合整数线性规划的一些用例：Gurobi优化案例研究线性规划技术的五个应用领域
　　随着计算机能力的增强、算法的改进以及更多用户友好的软件解决方案的出现，线性规划，尤其是混合整数线性规划的重要性随着时间的推移而增加。使用Python进行线性规划
　　解决线性规划问题的基本方法称为，它有多种变体。另一种流行的方法是。
　　混合整数线性规划问题可以通过更复杂且计算量更大的方法来解决，例如，它在幕后使用线性规划。这种方法的一些变体是，它涉及使用切割平面，以及。
　　有几种适用于线性规划和混合整数线性规划的合适且众所周知的Python工具。其中一些是开源的，而另一些是专有的。您是否需要免费或付费工具取决于问题的规模和复杂性，以及对速度和灵活性的需求。
　　值得一提的是，几乎所有广泛使用的线性规划和混合整数线性规划库都是以Fortran或C或C原生和编写的。这是因为线性规划需要对（通常很大）矩阵进行计算密集型工作。此类库称为求解器。Python工具只是求解器的包装器。
　　Python适合围绕本机库构建包装器，因为它可以很好地与CC配合使用。对于本教程，您不需要任何CC（或Fortran），但如果您想了解有关此酷功能的更多信息，请查看以下资源：构建PythonC扩展模块CPython内部用C或C扩展Python
　　基本上，当您定义和求解模型时，您使用Python函数或方法调用低级库，该库执行实际优化工作并将解决方案返回给您的Python对象。
　　几个免费的Python库专门用于与线性或混合整数线性规划求解器交互：SciPyOptimizationandRootFindingPuLPPyomoCVXOPT
　　在本教程中，您将使用SciPy和PuLP来定义和解决线性规划问题。线性规划示例
　　在本节中，您将看到线性规划问题的两个示例：一个说明什么是线性规划的小问题一个与资源分配相关的实际问题，它说明了现实世界场景中的线性规划概念
　　您将在下一节中使用Python来解决这两个问题。小型线性规划问题
　　考虑以下线性规划问题：
　　你需要找到X和使得红色，蓝色和黄色的不平等，以及不平等X0和0，是满意的。同时，您的解决方案必须对应于z的最大可能值。
　　您需要找到的自变量（在本例中为x和y）称为决策变量。要最大化或最小化的决策变量的函数（在本例中为z）称为目标函数、成本函数或仅称为目标。您需要满足的不等式称为不等式约束。您还可以在称为等式约束的约束中使用方程。
　　这是您如何可视化问题的方法：
　　红线代表的功能2X20，和它上面的红色区域示出了红色不等式不满足。同样，蓝线是函数4x5y10，蓝色区域被禁止，因为它违反了蓝色不等式。黄线是x2y2，其下方的黄色区域是黄色不等式无效的地方。
　　如果您忽略红色、蓝色和黄色区域，则仅保留灰色区域。灰色区域的每个点都满足所有约束，是问题的潜在解决方案。该区域称为可行域，其点为可行解。在这种情况下，有无数可行的解决方案。
　　您想最大化z。对应于最大z的可行解是最优解。如果您尝试最小化目标函数，那么最佳解决方案将对应于其可行的最小值。
　　请注意，z是线性的。你可以把它想象成一个三维空间中的平面。这就是为什么最优解必须在可行区域的顶点或角上的原因。在这种情况下，最佳解决方案是红线和蓝线相交的点，稍后您将看到。
　　有时，可行区域的整个边缘，甚至整个区域，都可以对应相同的z值。在这种情况下，您有许多最佳解决方案。
　　您现在已准备好使用绿色显示的附加等式约束来扩展问题：
　　方程式x5y15，以绿色书写，是新的。这是一个等式约束。您可以通过向上一张图像添加相应的绿线来将其可视化：
　　现在的解决方案必须满足绿色等式，因此可行区域不再是整个灰色区域。它是绿线从与蓝线的交点到与红线的交点穿过灰色区域的部分。后一点是解决方案。
　　如果插入x的所有值都必须是整数的要求，那么就会得到一个混合整数线性规划问题，可行解的集合又会发生变化：
　　您不再有绿线，只有沿线的x值为整数的点。可行解是灰色背景上的绿点，此时最优解离红线最近。
　　这三个例子说明了可行的线性规划问题，因为它们具有有界可行区域和有限解。不可行的线性规划问题
　　如果没有解，线性规划问题是不可行的。当没有解决方案可以同时满足所有约束时，通常会发生这种情况。
　　例如，考虑如果添加约束xy1会发生什么。那么至少有一个决策变量（x或y）必须是负数。这与给定的约束x0和y0相冲突。这样的系统没有可行的解决方案，因此称为不可行的。
　　另一个示例是添加与绿线平行的第二个等式约束。这两行没有共同点，因此不会有满足这两个约束的解决方案。无界线性规划问题
　　一个线性规划问题是无界的，如果它的可行区域是无界，将溶液不是有限。这意味着您的变量中至少有一个不受约束，可以达到正无穷大或负无穷大，从而使目标也无限大。
　　例如，假设您采用上面的初始问题并删除红色和黄色约束。从问题中删除约束称为放松问题。在这种情况下，x和y不会在正侧有界。您可以将它们增加到正无穷大，从而产生无限大的z值。资源分配问题
　　在前面的部分中，您研究了一个与任何实际应用程序无关的抽象线性规划问题。在本小节中，您将找到与制造业资源分配相关的更具体和实用的优化问题。
　　假设一家工厂生产四种不同的产品，第一种产品的日产量为x，第二种产品的产量为x2，依此类推。目标是确定每种产品的利润最大化日产量，同时牢记以下条件：第一种、第二种、第三种和第四种产品的每单位产品利润分别为20美元、12美元、40美元和25美元。由于人力限制，每天生产的总数量不能超过五十台。对于每单位第一个产品，消耗三个单位的原材料A。每单位第二产品需要两单位原料A和一单位原料B。每单位第三产品需要一单位A和两单位B。最后，每单位第四产品需要三B的单位由于运输和储存的限制，工厂每天最多可以消耗一百单位的原材料A和九十单位的B。
　　数学模型可以这样定义：
　　目标函数（利润）在条件1中定义。人力约束遵循条件2。对原材料A和B的约束可以从条件3和条件4中通过对每种产品的原材料需求求和得出。
　　最后，产品数量不能为负，因此所有决策变量必须大于或等于零。
　　与前面的示例不同，您无法方便地将其可视化，因为它有四个决策变量。但是，无论问题的维度如何，原理都是相同的。线性规划Python实现
　　在本教程中，您将使用两个Python包来解决上述线性规划问题：SciPy是一个用于使用Python进行科学计算的通用包。PuLP是一个Python线性编程API，用于定义问题和调用外部求解器。
　　SciPy设置起来很简单。安装后，您将拥有开始所需的一切。它的子包scipy。optimize可用于线性和非线性优化。
　　PuLP允许您选择求解器并以更自然的方式表述问题。PuLP使用的默认求解器是COINORBranchandCutSolver（CBC）。它连接到用于线性松弛的COINOR线性规划求解器（CLP）和用于切割生成的COINOR切割生成器库（CGL）。
　　另一个伟大的开源求解器是GNU线性规划工具包（GLPK）。一些著名且非常强大的商业和专有解决方案是Gurobi、CPLEX和XPRESS。
　　除了在定义问题时提供灵活性和运行各种求解器的能力外，PuLP使用起来不如Pyomo或CVXOPT等替代方案复杂，后者需要更多的时间和精力来掌握。安装SciPy和PuLP
　　要学习本教程，您需要安装SciPy和PuLP。下面的示例使用SciPy1。4。1版和PuLP2。1版。
　　您可以使用pip以下方法安装两者：pythonmpipinstallUscipy1。4。pulp2。1
　　您可能需要运行pulptest或sudopulptest启用PuLP的默认求解器，尤其是在您使用Linux或Mac时：pulptest
　　或者，您可以下载、安装和使用GLPK。它是免费和开源的，适用于Windows、MacOS和Linux。在本教程的后面部分，您将看到如何将GLPK（除了CBC）与PuLP一起使用。
　　在Windows上，您可以下载档案并运行安装文件。
　　在MacOS上，您可以使用Homebrew：brewinstallglpk
　　在Debian和Ubuntu上，使用apt来安装glpk和glpkutils：sudoaptinstallglpkglpkutils
　　在Fedora，使用dnf具有glpkutils：sudodnfinstallglpkutils
　　您可能还会发现conda对安装GLPK很有用：condainstallccondaforgeglpk
　　安装完成后，可以查看GLPK的版本：glpsolversion
　　有关详细信息，请参阅GLPK关于使用Windows可执行文件和Linux软件包进行安装的教程。使用SciPy
　　在本节中，您将学习如何使用SciPy优化和求根库进行线性规划。
　　要使用SciPy定义和解决优化问题，您需要导入scipy。optimize。linprog（）：fromscipy。optimizeimportlinprog
　　现在您已经linprog（）导入，您可以开始优化。示例1
　　让我们首先解决上面的线性规划问题：
　　linprog（）仅解决最小化（而非最大化）问题，并且不允许具有大于或等于符号（）的不等式约束。要解决这些问题，您需要在开始优化之前修改您的问题：不是最大化zx2y，你可以最小化它的负值（zx2y）。代替大于或等于符号，您可以将黄色不等式乘以1并得到小于或等于符号（）的相反数。
　　引入这些更改后，您将获得一个新系统：
　　该系统与原始系统等效，并且将具有相同的解决方案。应用这些更改的唯一原因是克服SciPy与问题表述相关的局限性。
　　下一步是定义输入值：obj〔1，2〕CoefficientforyCoefficientforxlhsineq〔〔2，1〕，Redconstraintleftside。。。〔4，5〕，Blueconstraintleftside。。。〔1，2〕〕Yellowconstraintleftsiderhsineq〔20，Redconstraintrightside。。。10，Blueconstraintrightside。。。2〕Yellowconstraintrightsidelhseq〔〔1，5〕〕Greenconstraintleftsiderhseq〔15〕Greenconstraintrightside
　　您将上述系统中的值放入适当的列表、元组或NumPy数组中：obj保存目标函数的系数。lhsineq保存不等式（红色、蓝色和黄色）约束的左侧系数。rhsineq保存不等式（红色、蓝色和黄色）约束的右侧系数。lhseq保存来自等式（绿色）约束的左侧系数。rhseq保存来自等式（绿色）约束的右侧系数。
　　注意：请注意行和列的顺序！
　　约束左侧和右侧的行顺序必须相同。每一行代表一个约束。
　　来自目标函数和约束左侧的系数的顺序必须匹配。每列对应一个决策变量。
　　下一步是以与系数相同的顺序定义每个变量的界限。在这种情况下，它们都在零和正无穷大之间：bnd〔（0，float（inf）），Boundsofx。。。（0，float（inf））〕Boundsofy
　　此语句是多余的，因为linprog（）默认情况下采用这些边界（零到正无穷大）。
　　注：相反的float（inf），你可以使用math。inf，numpy。inf或scipy。inf。
　　最后，是时候优化和解决您感兴趣的问题了。你可以这样做linprog（）：optlinprog（cobj，Aublhsineq，bubrhsineq，。。。Aeqlhseq，beqrhseq，boundsbnd，。。。methodrevisedsimplex）optcon：array（〔0。〕）fun：16。818181818181817message：Optimizationterminatedsuccessfully。nit：3slack：array（〔0。，18。18181818，3。36363636〕）status：0success：Truex：array（〔7。72727273，4。54545455〕）
　　参数c是指来自目标函数的系数。Aub和bub分别与不等式约束左边和右边的系数有关。同样，Aeq并beq参考等式约束。您可以使用bounds提供决策变量的下限和上限。
　　您可以使用该参数method来定义要使用的线性规划方法。有以下三种选择：methodinteriorpoint选择内点法。默认情况下设置此选项。methodrevisedsimplex选择修正的两相单纯形法。methodsimplex选择传统的两相单纯形方法。
　　linprog（）返回具有以下属性的数据结构：。con是等式约束残差。。fun是最优的目标函数值（如果找到）。。message是解决方案的状态。。nit是完成计算所需的迭代次数。。slack是松弛变量的值，或约束左右两侧的值之间的差异。。status是一个介于0和之间的整数4，表示解决方案的状态，例如0找到最佳解决方案的时间。。success是一个布尔值，显示是否已找到最佳解决方案。。x是一个保存决策变量最优值的NumPy数组。
　　您可以分别访问这些值：opt。fun16。818181818181817opt。successTrueopt。xarray（〔7。72727273，4。54545455〕）
　　这就是您获得优化结果的方式。您还可以以图形方式显示它们：
　　如前所述，线性规划问题的最优解位于可行区域的顶点。在这种情况下，可行区域只是蓝线和红线之间的绿线部分。最优解是代表绿线和红线交点的绿色方块。
　　如果要排除相等（绿色）约束，只需删除参数Aeq并beq从linprog（）调用中删除：optlinprog（cobj，Aublhsineq，bubrhsineq，boundsbnd，。。。methodrevisedsimplex）optcon：array（〔〕，dtypefloat64）fun：20。714285714285715message：Optimizationterminatedsuccessfully。nit：2slack：array（〔0。，0。，9。85714286〕）status：0success：Truex：array（〔6。42857143，7。14285714〕））
　　解决方案与前一种情况不同。你可以在图表上看到：
　　在这个例子中，最优解是红色和蓝色约束相交的可行（灰色）区域的紫色顶点。其他顶点，如黄色顶点，具有更高的目标函数值。示例2
　　您可以使用SciPy来解决前面部分所述的资源分配问题：
　　和前面的例子一样，你需要从上面的问题中提取必要的向量和矩阵，将它们作为参数传递给。linprog（），然后得到结果：obj〔20，12，40，25〕lhsineq〔〔1，1，1，1〕，Manpower。。。〔3，2，1，0〕，MaterialA。。。〔0，1，2，3〕〕MaterialBrhsineq〔50，Manpower。。。100，MaterialA。。。90〕MaterialBoptlinprog（cobj，Aublhsineq，bubrhsineq，。。。methodrevisedsimplex）optcon：array（〔〕，dtypefloat64）fun：1900。0message：Optimizationterminatedsuccessfully。nit：2slack：array（〔0。，40。，0。〕）status：0success：Truex：array（〔5。，0。，45。，0。〕）
　　结果告诉您最大利润是1900并且对应于x5和x45。在给定条件下生产第二和第四个产品是没有利润的。您可以在这里得出几个有趣的结论：第三个产品带来的单位利润最大，因此工厂将生产最多。第一个slack是0，表示人力（第一）约束左右两边的值是一样的。工厂每天50生产单位，这是它的全部产能。第二个松弛是40因为工厂消耗了60单位的原材料A（第一种产品为15单位，第三种产品为45100单位）。第三个裕量是0，这意味着工厂消耗了所有90单位的原材料B。这全部量都用于第三个产品。这就是为什么工厂根本不能生产第二或第四种产品，也不能生产超过45单位的第三种产品。缺乏原材料B。
　　opt。statusis0和opt。successisTrue，说明优化问题成功求解，最优可行解。
　　SciPy的线性规划功能主要用于较小的问题。对于更大和更复杂的问题，您可能会发现其他库更适合，原因如下：SciPy无法运行各种外部求解器。SciPy不能使用整数决策变量。SciPy不提供促进模型构建的类或函数。您必须定义数组和矩阵，这对于大型问题来说可能是一项乏味且容易出错的任务。SciPy不允许您直接定义最大化问题。您必须将它们转换为最小化问题。SciPy不允许您直接使用大于或等于符号来定义约束。您必须改用小于或等于。
　　幸运的是，Python生态系统为线性编程提供了几种替代解决方案，这些解决方案对于更大的问题非常有用。其中之一是PuLP，您将在下一节中看到它的实际应用。UsingPuLP
　　PuLP具有比SciPy更方便的线性编程API。您不必在数学上修改您的问题或使用向量和矩阵。一切都更干净，更不容易出错。
　　像往常一样，您首先导入您需要的内容：frompulpimportLpMaximize，LpProblem，LpStatus，lpSum，LpVariable
　　现在您已经导入了PuLP，您可以解决您的问题。示例1
　　您现在将使用PuLP解决此系统：
　　第一步是初始化一个实例LpProblem来表示你的模型：CreatethemodelmodelLpProblem（namesmallproblem，senseLpMaximize）
　　您可以使用该sense参数来选择是执行最小化（LpMinimize或1，这是默认值）还是最大化（LpMaximize或1）。这个选择会影响你的问题的结果。
　　一旦有了模型，就可以将决策变量定义为LpVariable类的实例：InitializethedecisionvariablesxLpVariable（namex，lowBound0）yLpVariable（namey，lowBound0）
　　您需要提供下限，lowBound0因为默认值为负无穷大。该参数upBound定义了上限，但您可以在此处省略它，因为它默认为正无穷大。
　　可选参数cat定义决策变量的类别。如果您使用的是连续变量，则可以使用默认值Continuous。
　　您可以使用变量x和y创建表示线性表达式和约束的其他PuLP对象：expression2x4ytype（expression）classpulp。pulp。LpAffineExpressionconstraint2x4y8type（constraint）classpulp。pulp。LpConstraint
　　当您将决策变量与标量相乘或构建多个决策变量的线性组合时，您会得到一个pulp。LpAffineExpression代表线性表达式的实例。
　　注意：您可以增加或减少变量或表达式，你可以乘他们常数，因为纸浆类实现一些Python的特殊方法，即模拟数字类型一样add（），sub（）和mul（）。这些方法用于像定制运营商的行为，和。
　　类似地，您可以将线性表达式、变量和标量与运算符、、或以获取表示模型线性约束的纸浆。LpConstraint实例。
　　注：也有可能与丰富的比较方法来构建的约束。eq（），。le（）以及。ge（）定义了运营商的行为，和。
　　考虑到这一点，下一步是创建约束和目标函数并将它们分配给您的模型。您不需要创建列表或矩阵。只需编写Python表达式并使用运算符将它们附加到模型中：Addtheconstraintstothemodelmodel（2xy20，redconstraint）model（4x5y10，blueconstraint）model（x2y2，yellowconstraint）model（x5y15，greenconstraint）
　　在上面的代码中，您定义了包含约束及其名称的元组。LpProblem允许您通过将约束指定为元组来向模型添加约束。第一个元素是一个LpConstraint实例。第二个元素是该约束的可读名称。
　　设置目标函数非常相似：Addtheobjectivefunctiontothemodelobjfuncx2ymodelobjfunc
　　或者，您可以使用更短的符号：Addtheobjectivefunctiontothemodelmodelx2y
　　现在您已经添加了目标函数并定义了模型。
　　注意：您可以使用运算符将约束或目标附加到模型中，因为它的类LpProblem实现了特殊方法。iadd（），该方法用于指定的行为。
　　对于较大的问题，lpSum（）与列表或其他序列一起使用通常比重复运算符更方便。例如，您可以使用以下语句将目标函数添加到模型中：AddtheobjectivefunctiontothemodelmodellpSum（〔x，2y〕）
　　它产生与前一条语句相同的结果。
　　您现在可以看到此模型的完整定义：modelsmallproblem：MAXIMIZE1x2y0SUBJECTTOredconstraint：2xy20blueconstraint：4x5y10yellowconstraint：x2y2greenconstraint：x5y15VARIABLESxContinuousyContinuous
　　模型的字符串表示包含所有相关数据：变量、约束、目标及其名称。
　　注意：字符串表示是通过定义特殊方法构建的。repr（）。有关的更多详细信息。repr（），请查看PythonicOOP字符串转换：reprvsstr。
　　最后，您已准备好解决问题。你可以通过调用。solve（）你的模型对象来做到这一点。如果要使用默认求解器（CBC），则不需要传递任何参数：Solvetheproblemstatusmodel。solve（）
　　。solve（）调用底层求解器，修改model对象，并返回解决方案的整数状态，1如果找到了最优解。有关其余状态代码，请参阅LpStatus〔〕。
　　你可以得到优化结果作为的属性model。该函数value（）和相应的方法。value（）返回属性的实际值：print（fstatus：｛model。status｝，｛LpStatus〔model。status〕｝）status：1，Optimalprint（fobjective：｛model。objective。value（）｝）objective：16。8181817forvarinmodel。variables（）：。。。print（f｛var。name｝：｛var。value（）｝）。。。x：7。7272727y：4。5454545forname，constraintinmodel。constraints。items（）：。。。print（f｛name｝：｛constraint。value（）｝）。。。redconstraint：9。99999993922529e08blueconstraint：18。181818300000003yellowconstraint：3。3636362999999996greenconstraint：2。0000000233721948e07）
　　model。objective持有目标函数model。constraints的值，包含松弛变量的值，以及对象x和y具有决策变量的最优值。model。variables（）返回一个包含决策变量的列表：model。variables（）〔x，y〕model。variables（）〔0〕isxTruemodel。variables（）〔1〕isyTrue
　　如您所见，此列表包含使用的构造函数创建的确切对象LpVariable。
　　结果与您使用SciPy获得的结果大致相同。
　　注意：注意这个方法。solve（）它会改变对象的状态，x并且y！
　　您可以通过调用查看使用了哪个求解器。solver：model。solverpulp。apis。coinapi。PULPCBCCMDobjectat0x7f60aea19e50
　　输出通知您求解器是CBC。您没有指定求解器，因此PuLP调用了默认求解器。
　　如果要运行不同的求解器，则可以将其指定为的参数。solve（）。例如，如果您想使用GLPK并且已经安装了它，那么您可以solverGLPK（msgFalse）在最后一行使用。请记住，您还需要导入它：frompulpimportGLPK
　　现在你已经导入了GLPK，你可以在里面使用它。solve（）：CreatethemodelmodelLpProblem（namesmallproblem，senseLpMaximize）InitializethedecisionvariablesxLpVariable（namex，lowBound0）yLpVariable（namey，lowBound0）Addtheconstraintstothemodelmodel（2xy20，redconstraint）model（4x5y10，blueconstraint）model（x2y2，yellowconstraint）model（x5y15，greenconstraint）AddtheobjectivefunctiontothemodelmodellpSum（〔x，2y〕）Solvetheproblemstatusmodel。solve（solverGLPK（msgFalse））
　　该msg参数用于显示来自求解器的信息。msgFalse禁用显示此信息。如果要包含信息，则只需省略msg或设置msgTrue。
　　您的模型已定义并求解，因此您可以按照与前一种情况相同的方式检查结果：print（fstatus：｛model。status｝，｛LpStatus〔model。status〕｝）status：1，Optimalprint（fobjective：｛model。objective。value（）｝）objective：16。81817forvarinmodel。variables（）：。。。print（f｛var。name｝：｛var。value（）｝）。。。x：7。72727y：4。54545forname，constraintinmodel。constraints。items（）：。。。print（f｛name｝：｛constraint。value（）｝）。。。redconstraint：1。0000000000509601e05blueconstraint：18。181830000000005yellowconstraint：3。3636299999999997greenconstraint：2。000000000279556e05
　　使用GLPK得到的结果与使用SciPy和CBC得到的结果几乎相同。
　　一起来看看这次用的是哪个求解器：model。solverpulp。apis。glpkapi。GLPKCMDobjectat0x7f60aeb04d50
　　正如您在上面用突出显示的语句定义的那样model。solve（solverGLPK（msgFalse）），求解器是GLPK。
　　您还可以使用PuLP来解决混合整数线性规划问题。要定义整数或二进制变量，只需传递catInteger或catBinary到LpVariable。其他一切都保持不变：CreatethemodelmodelLpProblem（namesmallproblem，senseLpMaximize）Initializethedecisionvariables：xisinteger，yiscontinuousxLpVariable（namex，lowBound0，catInteger）yLpVariable（namey，lowBound0）Addtheconstraintstothemodelmodel（2xy20，redconstraint）model（4x5y10，blueconstraint）model（x2y2，yellowconstraint）model（x5y15，greenconstraint）AddtheobjectivefunctiontothemodelmodellpSum（〔x，2y〕）Solvetheproblemstatusmodel。solve（）
　　在本例中，您有一个整数变量并获得与之前不同的结果：print（fstatus：｛model。status｝，｛LpStatus〔model。status〕｝）status：1，Optimalprint（fobjective：｛model。objective。value（）｝）objective：15。8forvarinmodel。variables（）：。。。print（f｛var。name｝：｛var。value（）｝）。。。x：7。0y：4。4forname，constraintinmodel。constraints。items（）：。。。print（f｛name｝：｛constraint。value（）｝）。。。redconstraint：1。5999999999999996blueconstraint：16。0yellowconstraint：3。8000000000000007greenconstraint：0。0）model。solverpulp。apis。coinapi。PULPCBCCMDat0x7f0f005c6210
　　Nowx是一个整数，如模型中所指定。（从技术上讲，它保存一个小数点后为零的浮点值。）这一事实改变了整个解决方案。让我们在图表上展示这一点：
　　如您所见，最佳解决方案是灰色背景上最右边的绿点。这是两者的最大价值的可行的解决方案x和y，给它的最大目标函数值。
　　GLPK也能够解决此类问题。示例2
　　现在你可以使用PuLP来解决上面的资源分配问题：
　　定义和解决问题的方法与前面的示例相同：DefinethemodelmodelLpProblem（nameresourceallocation，senseLpMaximize）Definethedecisionvariablesx｛i：LpVariable（namefx｛i｝，lowBound0）foriinrange（1，5）｝Addconstraintsmodel（lpSum（x。values（））50，manpower）model（3x〔1〕2x〔2〕x〔3〕100，materiala）model（x〔2〕2x〔3〕3x〔4〕90，materialb）Settheobjectivemodel20x〔1〕12x〔2〕40x〔3〕25x〔4〕Solvetheoptimizationproblemstatusmodel。solve（）Gettheresultsprint（fstatus：｛model。status｝，｛LpStatus〔model。status〕｝）print（fobjective：｛model。objective。value（）｝）forvarinx。values（）：print（f｛var。name｝：｛var。value（）｝）forname，constraintinmodel。constraints。items（）：print（f｛name｝：｛constraint。value（）｝）
　　在这种情况下，您使用字典x来存储所有决策变量。这种方法很方便，因为字典可以将决策变量的名称或索引存储为键，将相应的LpVariable对象存储为值。列表或元组的LpVariable实例可以是有用的。
　　上面的代码产生以下结果：status：1，Optimalobjective：1900。0x1：5。0x2：0。0x3：45。0x4：0。0manpower：0。0materiala：40。0materialb：0。0
　　如您所见，该解决方案与使用SciPy获得的解决方案一致。最有利可图的解决方案是每天生产5。0第一件产品和45。0第三件产品。
　　让我们把这个问题变得更复杂和有趣。假设由于机器问题，工厂无法同时生产第一种和第三种产品。在这种情况下，最有利可图的解决方案是什么？
　　现在您有另一个逻辑约束：如果x为正数，则x必须为零，反之亦然。这是二元决策变量非常有用的地方。您将使用两个二元决策变量y和y，它们将表示是否生成了第一个或第三个产品：1modelLpProblem（nameresourceallocation，senseLpMaximize）23Definethedecisionvariables4x｛i：LpVariable（namefx｛i｝，lowBound0）foriinrange（1，5）｝5y｛i：LpVariable（namefy｛i｝，catBinary）foriin（1，3）｝67Addconstraints8model（lpSum（x。values（））50，manpower）9model（3x〔1〕2x〔2〕x〔3〕100，materiala）10model（x〔2〕2x〔3〕3x〔4〕90，materialb）1112M10013model（x〔1〕y〔1〕M，x1constraint）14model（x〔3〕y〔3〕M，x3constraint）15model（y〔1〕y〔3〕1，yconstraint）1617Setobjective18model20x〔1〕12x〔2〕40x〔3〕25x〔4〕1920Solvetheoptimizationproblem21statusmodel。solve（）2223print（fstatus：｛model。status｝，｛LpStatus〔model。status〕｝）24print（fobjective：｛model。objective。value（）｝）2526forvarinmodel。variables（）：27print（f｛var。name｝：｛var。value（）｝）2829forname，constraintinmodel。constraints。items（）：30print（f｛name｝：｛constraint。value（）｝）
　　除了突出显示的行之外，代码与前面的示例非常相似。以下是差异：第5行定义了二元决策变量y〔1〕并y〔3〕保存在字典中y。第12行定义了一个任意大的数M。100在这种情况下，该值足够大，因为您100每天的数量不能超过单位。第13行说如果y〔1〕为零，则x〔1〕必须为零，否则它可以是任何非负数。第14行说如果y〔3〕为零，则x〔3〕必须为零，否则它可以是任何非负数。第15行说要么y〔1〕ory〔3〕为零（或两者都是），所以要么x〔1〕or也x〔3〕必须为零。
　　这是解决方案：status：1，Optimalobjective：1800。0x1：0。0x2：0。0x3：45。0x4：0。0y1：0。0y3：1。0manpower：5。0materiala：55。0materialb：0。0x1constraint：0。0x3constraint：55。0yconstraint：0。0
　　事实证明，最佳方法是排除第一种产品而只生产第三种产品。线性规划求解器
　　就像有许多资源可以帮助您学习线性规划和混合整数线性规划一样，还有许多具有Python包装器的求解器可用。这是部分列表：GLPKLPSolveCLPCBCCVXOPTSciPySCIPwithPySCIPOptGurobiOptimizerCPLEXXPRESSMOSEK
　　其中一些库，如Gurobi，包括他们自己的Python包装器。其他人使用外部包装器。例如，您看到可以使用PuLP访问CBC和GLPK。结论
　　您现在知道什么是线性规划以及如何使用Python解决线性规划问题。您还了解到Python线性编程库只是本机求解器的包装器。当求解器完成其工作时，包装器返回解决方案状态、决策变量值、松弛变量、目标函数等。