1加1为什么等于2（一加一等于二是谁证明出来的）

　　本文将由皮亚诺公理出发，详细介绍有关自然数的算数属性以及基本性质，并证明推论112。本文不涉及任何高深的数学知识，适合任何学历读者。
　　112
　　引言
　　在上一篇文章中，我们详细介绍了一些基本数学术语的概念以及区别。对于大多数学生来说，自然数集是学习数学时最早接触的范畴，它也是最基础的数学知识之一。构建自然数以及定义其算数属性的是皮亚诺公理，这意味着诸如112这类算式是可以被证明的。接下来将介绍几个重要的数学概念，并引出皮亚诺公理。
　　自然数
　　等价关系
　　在一个集合S中，一个二元关系～被称为等价关系，当且仅当其具有自反性，对称性以及传递性。换而言之，～是等价关系当且仅当对于任意a，b，c属于S：aa（自反性）
　　ab当且仅当ba（对称性）
　　若ab且bc，则ac（传递性）
　　等价
　　相等
　　在数学上，如果两个量具有相同的值，或者更一般来说，两个数学表达式表示相同的数学对象，那么这两个量或数学表达式之间的关系被称为相等。A和B相等可以表示成AB，其中符号被叫做等号。
　　根据《几何原本》中的第一条公理：
　　公理1：等同于相同事物的事物会互相等同。
　　不难验证，相等是一种等价关系。相等的概念在皮亚诺公理中有很重要的作用。
　　自然数
　　自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。根据国际标准化组织制定的标准ISO800002，自然数集即非负整数集（正整数和0的集合），用N表示：
　　N｛0，1，2，3，｝
　　国际标准化组织定义的自然数集
　　皮亚诺公理（Peanoaxioms）
　　皮亚诺公理定义自然数的算数属性。这一套公理涉及一个常数符号0以及一个一元函数S。需要注意的是，自然数集中的元素以及元素符号并不是由皮亚诺公理定义的，而是由国际标准化组织定义的。若改写自然数集中的某些常数符号（比如将所有的1替换成别的符号）会违背国际标准化组织定制的标准，但不会对皮亚诺公理定义的算数属性造成影响。但是，仅仅只有一堆符号的集合是没有办法刻画元素之间的性质的，这就是皮亚诺公理的重要性所在。
　　首先考虑，自然数集可不可以是空集？显然这是不合理的。因此便有了第一条公理：
　　公理一：0是自然数
　　公理一说明自然数集非空，并且有元素0。但是只有一个元素0是无法构成自然数集的，我们还需要说明每一个自然数后面必然有另一个自然数。我们借助一个一元函数S来描述第二条公理：
　　公理二：对任意自然数n，S（n）是自然数
　　我们把一元函数S称为后继函数，自然数S（n）叫做自然数n的后继数。函数S其实描绘的是自然数集中每个自然数和它的后继数之间的对应关系。公理二说明自然数对于S是封闭的，并且根据映射的规则，每一个自然数n对应唯一一个后继数S（n）。那么从0开始，S（0）是0的后继数，而S（0）作为自然数也有它的后继数S（S（0）），这样一直重复下去。因此，我们用一个直观的图来刻画自然数结构如下：
　　理想中的自然数的结构
　　其中我们定义箭头由自然数n指向它的后继数S（n）。
　　那么问题出现了，要是0的后继数S（0）0怎么办？这种情况下自然数集就只由0组成，并且箭头永远是0指向0，如下图所示
　　只满足公理一、二的反例
　　除此之外，0是否可以是某一个自然数的后继数？这种情况下自然数就不是从0开始，如下图所示
　　只满足公理一、二的反例
　　对于这两种情况，我们可以归结为，是否存在一个自然数n，使得它的后继数S（n）等于0？这显然是不合理的。因此第三条公理如下陈述：
　　公理三：不存在自然数n，使得S（n）0
　　公理三说明，0不是任何自然数的后继数。既然S（0）不等于0，根据国际标准化组织定制的标准，我们把S（0）记作1，1是0的后继数。那我们继续思考，S（1）等于多少？S（1）可以等于0吗？公理三告诉我们S（1）不等于0；那S（1）可以等于1吗？目前没有办法否定这种情况，但是情况下，自然数就可以是一个只包含0和1两个元素的集合，并且S（0）1，S（1）1，如下图所示：
　　只满足前三条公理的反例
　　除此之外，1是否可以是多个自然数的后继数？如下图所示：
　　只满足前三条公理的反例
　　这两种情况有一个共性，就是有多个自然数对应同一个后继数，这破坏了映射中单射的条件，因此我们只需要对映射S加上单射的条件即可，第四条公理如下陈述：
　　公理四：对于任意自然数m，n，S（m）S（n）当且仅当mn
　　根据公理四来看，S（1）绝不可能是1，否则S（0）S（1）1，违背了公理四。根据国际标准化组织定制的标准，我们把S（1）记为2，2是1的后继数。那么同样，S（2）不可能是0或1或2，我们同样可以用3来表示S（2），这个过程可以无限进行下去，这是因为每一次标记的后继数不可能是0或者是之前标记的任何一个数，否则会违背公理四，所以只可能是一个新的数。
　　由这四条公理所确定的自然数集仍然存在漏洞，比如下面这种情况：
　　只满足前四条公理的反例子
　　在这种情况中，0，1，2，依旧属于自然数，不过它多了另一条以n0为首的长链，而这两条链不存在公共元素。不难验证，这种结构符合公理一至公理四，但显然不是我们想定义的自然数集的结构。为了排除这种情况，我们只需要从0开始不断取后继数，最后可以遍历自然数集即可。公理五如下陈述：
　　公理五（归纳公理）：若集合K是自然数集N的一个子集，满足：
　　1。0属于K
　　2。对于任意n属于K，有S（n）属于K
　　那么集合K等于自然数集N。
　　归纳公理常常有另一种表述：
　　公理五（归纳公理）：若f是一个单参判断式，满足：
　　1。f（0）为真
　　2。对于任意自然数n，若f（n）为真那么f（S（n））为真
　　那么对于任意自然数n，f（n）为真。
　　归纳公理确保了数学归纳法的正确性。这五条公理很严谨地定义了自然数的算数属性。
　　自然数的加法和乘法运算
　　加法和乘法都是二元运算，换言之，是将两个自然数映射到另一个自然数的函数。
　　其中，加法的递归定义为：
　　对于任意a，b属于N，
　　0aa，
　　S（a）bS（ab）
　　类似的，乘法的递归定义为：
　　对于任意a，b属于N，
　　ax00，
　　axS（b）aba
　　112的证明
　　加法和乘法的性质
　　下面列举一些常见的自然数加法和乘法的性质，并附上证明。
　　引理：对于任意自然数n，S（n）n1
　　引理：对于任意自然数n，n0n
　　加法结合律：对于任意自然数a，b，c，
　　（ab）ca（bc）
　　加法交换律：对于任意自然数m，n，
　　mnnm
　　引理：对于任意自然数n，0xn0
　　引理：对于任意自然数m，n，S（m）nmnn
　　乘法分配律：对于任意自然数a，b，c，
　　a（bc）abac
　　乘法结合律：对于任意自然数a，b，c，
　　（ab）ca（bc）
　　乘法交换律：对于任意自然数m，n，
　　mnnm
　　至此，本文已经介绍完皮亚诺公理以及自然数的算数属性以及基本性质，并且证明了推论112，希望大家对于自然数能有更深刻的理解。